与えられた数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ が $2, 4, 8, 16, \dots$ であり、これが初項2、公比2の等比数列であるとき、$a_n$ を求めよ。ただし、$a_1 = 3$ とする。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$ の階差数列 $\{b_n\}$ が $2, 4, 8, 16, \dots$ であり、これが初項2、公比2の等比数列であるとき、$a_n$ を求めよ。ただし、$a_1 = 3$ とする。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の階差数列が与えられているので、$n \ge 2$ のとき、$a_n$ は次の式で表せる。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

ここで、$b_k$ は初項2、公比2の等比数列であるから、$b_k = 2 \cdot 2^{k-1} = 2^k$ となる。したがって、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

$a_1 = 3$ であるから、

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k$ は初項2、公比2、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、次のようになる。

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2(2^{n-1} - 1)$

よって、$a_n$ は

$a_n = 3 + 2(2^{n-1} - 1) = 3 + 2^n - 2 = 2^n + 1$

ここで、$a_n = 2^n + 1$ が $n=1$ のときも成り立つかどうかを確認する。

$a_1 = 2^1 + 1 = 3$ であり、$a_1 = 3$ は与えられた条件と一致するので、$a_n = 2^n + 1$ はすべての $n$ で成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^n + 1$