$y = -(x^2 - 2x) + 2$ $y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 2$ $y = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 2$ $y = -(x-1)^2 + 3$ したがって、(1)には $\mathbf{-(x-1)^2 + 3}$ が入ります。

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1. 問題の内容

問題3は、与えられた二次関数の最大値と最小値を求める問題です。それぞれ、指定された定義域において、二次関数を標準形に変形し、グラフを参考にしながら、最大値と最小値、およびそれらを取るxの値を求め、空欄を埋める必要があります。

問題4は、二次関数 $y=x^2 + 2x - 2$ について、

(1) 標準形を求め、

(2) $-2 \le x \le 1$ における最大値・最小値を求める問題です。

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2. 解き方の手順

### 問題3

**最初の二次関数: $y = -x^2 + 2x + 2$**

1. 標準形に変形する:

$y = -(x^2 - 2x) + 2$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 2$

$y = -(x^2 - 2x + 1) + 1 + 2$

$y = -(x-1)^2 + 3$

したがって、(1)には $\mathbf{-(x-1)^2 + 3}$ が入ります。

2. グラフから最大値と最小値を読み取る:

グラフより、$x=1$ のとき最大値 $3$、

$x=-1$ のとき最小値 $-1$ をとります。

したがって、(2)には $\mathbf{1}$、(3)には $\mathbf{3}$、(4)には $\mathbf{-1}$ が入ります。

**次の二次関数: $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 1$**

1. 標準形に変形する:

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 4x) + 1$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) - 2 + 1$

$y = \frac{1}{2}(x-2)^2 - 1$

したがって、(5)には $\mathbf{\frac{1}{2}(x-2)^2 - 1}$ が入ります。

2. グラフから最大値と最小値を読み取る:

定義域は $-1 \le x \le 1$ です。

グラフより、$x=-1$ のとき最大値 $\frac{7}{2}$、

$x=1$ のとき最小値 $-\frac{1}{2}$ をとります。

したがって、(6)には $\mathbf{-1}$、(7)には $\mathbf{1}$、(8)には $\mathbf{-\frac{1}{2}}$ が入ります。

### 問題4

1. 標準形に変形する:

$y = x^2 + 2x - 2$

$y = (x^2 + 2x + 1) - 1 - 2$

$y = (x+1)^2 - 3$

2. $-2 \le x \le 1$ における最大値・最小値を求める

頂点は $x=-1$ のとき $y=-3$

$x=-2$ のとき $y = (-2+1)^2 - 3 = 1-3 = -2$

$x=1$ のとき $y = (1+1)^2 - 3 = 4-3 = 1$

よって、

最大値は $x=1$ のとき $1$

最小値は $x=-1$ のとき $-3$

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3. 最終的な答え

**問題3**

(1) $\mathbf{-(x-1)^2 + 3}$

(2) $\mathbf{1}$

(3) $\mathbf{3}$

(4) $\mathbf{-1}$

(5) $\mathbf{\frac{1}{2}(x-2)^2 - 1}$

(6) $\mathbf{-1}$

(7) $\mathbf{1}$

(8) $\mathbf{-\frac{1}{2}}$

**問題4**

(1) $\mathbf{y = (x+1)^2 - 3}$

(2) 最大値: $\mathbf{1}$、最小値: $\mathbf{-3}$