## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

1. 空欄に適切な語句または式を埋める問題。2次関数の標準形とグラフの形状、および、最大値・最小値に関する性質に関する記述について、空欄を埋める。

2. 2次関数の最大値または最小値を求める問題。3つの2次関数について、それぞれ最大値または最小値を求め、そのときの$x$の値を明示する。

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2. 解き方の手順

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1. の空欄埋め問題

(1) 2次関数の標準形は、$y = a(x-p)^2 + q$。

(2) $a > 0$ のとき、グラフは下に凸。$x < p$ の範囲では、$y$は減少する。

(3) $a < 0$ のとき、グラフは上に凸。$x < p$ の範囲では、$y$は増加する。

(4) $a < 0$ のとき、$x=p$で最大値$q$をとる。

(5) $y = x^2 - 4x + 2$を標準形にする。

$y = x^2 - 4x + 4 - 4 + 2 = (x-2)^2 - 2$

(6) $(x-2)^2 - 2$は、$x=2$のとき最小値をとる。

(7) 最小値は、$y = (2-2)^2 - 2 = -2$

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2. の最大値・最小値を求める問題

(1) $y = x^2 - 6x + 5$ を標準形にする。

$y = x^2 - 6x + 9 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$

$x = 3$ のとき、最小値 $-4$ をとる。

(2) $y = -x^2 - 4x + 5$ を標準形にする。

$y = -(x^2 + 4x) + 5 = -(x^2 + 4x + 4 - 4) + 5 = -(x+2)^2 + 4 + 5 = -(x+2)^2 + 9$

$x = -2$ のとき、最大値 $9$ をとる。

(3) $y = x^2 + 3x + 3$ を標準形にする。

$y = x^2 + 3x + (\frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 + 3 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + \frac{12}{4} = (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}$

$x = -\frac{3}{2}$ のとき、最小値 $\frac{3}{4}$ をとる。

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3. 最終的な答え

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1. の空欄埋め問題

(1) $a(x-p)^2 + q$

(2) 減少

(3) 増加

(4) $q$

(5) $(x-2)^2 - 2$

(6) $2$

(7) $-2$

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2. の最大値・最小値を求める問題

(1) $x = 3$ のとき、最小値 $-4$

(2) $x = -2$ のとき、最大値 $9$

(3) $x = -\frac{3}{2}$ のとき、最小値 $\frac{3}{4}$