関数 $y=ax^2$ 上に2点A, Bがある。点Aの座標は$(-2, 2)$、点Bの$x$座標は4である。 (1) $a$の値を求める。 (2) 点Bの座標を求める。 (3) 2点A, Bを通る直線の式を求める。 (4) $\triangle OAB$の面積を求める。ただし、座標の1目盛りを1cmとする。

1. 問題の内容

関数 $y=ax^2$ 上に2点A, Bがある。点Aの座標は$(-2, 2)$、点Bの$x$座標は4である。

(1) $a$の値を求める。

(2) 点Bの座標を求める。

(3) 2点A, Bを通る直線の式を求める。

(4) $\triangle OAB$の面積を求める。ただし、座標の1目盛りを1cmとする。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標$(-2, 2)$を$y=ax^2$に代入して、$a$の値を求める。

$2 = a(-2)^2$

$2 = 4a$

$a = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(2) 点Bの$x$座標は4なので、$y = \frac{1}{2}x^2$に$x=4$を代入して、$y$座標を求める。

$y = \frac{1}{2}(4)^2 = \frac{1}{2}(16) = 8$

よって、点Bの座標は$(4, 8)$

(3) 2点A$(-2, 2)$、B$(4, 8)$を通る直線の式を求める。

直線の傾きは$\frac{8-2}{4-(-2)} = \frac{6}{6} = 1$

直線の式を$y = x + b$とおき、点Aの座標を代入する。

$2 = -2 + b$

$b = 4$

よって、直線の式は$y = x + 4$

(4) $\triangle OAB$の面積を求める。

直線ABの式は$y = x + 4$なので、この直線と原点Oとの距離を求める。

原点と直線$ax + by + c = 0$との距離は$\frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$で求められる。

直線の式を$x - y + 4 = 0$と変形すると、原点と直線の距離は$\frac{|4|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

線分ABの長さを計算する。

$AB = \sqrt{(4-(-2))^2 + (8-2)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36+36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

この三角形を直接計算するのは難しい。

そこで、点A, Bからx軸に垂線を下ろし、それぞれの交点をC, Dとする。

すると、台形ACDBの面積から、$\triangle ACO$の面積と$\triangle BDO$の面積を引けば良い。

台形ACDBの面積は$\frac{2+8}{2} * (4-(-2)) = 5 * 6 = 30$

$\triangle ACO$の面積は$\frac{1}{2} * 2 * 2 = 2$

$\triangle BDO$の面積は$\frac{1}{2} * 4 * 8 = 16$

$\triangle OAB = 30 - 2 - 16 = 12$

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) B(4, 8)

(3) $y = x + 4$

(4) $\triangle OAB = 12 \ cm^2$