問題は2つの等比数列について、以下の問いに答えるものです。 (1) 数列 -5, 10, -20, 40, ... の一般項を求めよ。 (2) 数列 8, 4, 2, 1, ... の初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つの等比数列について、以下の問いに答えるものです。

(1) 数列 -5, 10, -20, 40, ... の一般項を求めよ。

(2) 数列 8, 4, 2, 1, ... の初項から第n項までの和 $S_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されます。ここで、$a_1$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。

数列 -5, 10, -20, 40, ... の初項は $a_1 = -5$ であり、公比は $r = 10 / (-5) = -2$ です。

したがって、一般項は $a_n = -5(-2)^{n-1}$ となります。

(2) 等比数列の和は、$r \neq 1$ のとき $S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ で表されます。ここで、$a_1$は初項、$r$は公比、$n$は項数です。

数列 8, 4, 2, 1, ... の初項は $a_1 = 8$ であり、公比は $r = 4 / 8 = 1/2$ です。

したがって、初項から第n項までの和は $S_n = \frac{8(1-(1/2)^n)}{1-(1/2)} = \frac{8(1-(1/2)^n)}{1/2} = 16(1-(1/2)^n)$ となります。

これは $16(1 - (\frac{1}{2})^n) = 16 - \frac{16}{2^n} = 16 - \frac{2^4}{2^n} = 16 - 2^{4-n}$ とも表現できます。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = -5(-2)^{n-1}$

(2) $S_n = 16(1-(1/2)^n) = 16 - 2^{4-n}$