## 解答

## 解答

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1. 問題の内容

与えられた4つの対数の計算問題を解きます。

(3) $\log_{\frac{1}{5}}\sqrt[5]{125}$

(4) $\log_2 3 \cdot \log_3 2$

(5) $\log_3 5 \cdot \log_5 9$

(6) $\log_4 5 \cdot \log_5 8$

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2. 解き方の手順

(3) $\log_{\frac{1}{5}}\sqrt[5]{125}$ を解く

$\sqrt[5]{125} = 125^{\frac{1}{5}} = (5^3)^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{3}{5}}$

$\frac{1}{5} = 5^{-1}$

よって、

$\log_{\frac{1}{5}}\sqrt[5]{125} = \log_{5^{-1}} 5^{\frac{3}{5}} = \frac{\frac{3}{5}}{-1} = -\frac{3}{5}$

(4) $\log_2 3 \cdot \log_3 2$ を解く

対数の底の変換公式を使うと、$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ である。

$\log_2 3 \cdot \log_3 2 = \log_2 3 \cdot \frac{\log_2 2}{\log_2 3} = \log_2 3 \cdot \frac{1}{\log_2 3} = 1$

(5) $\log_3 5 \cdot \log_5 9$ を解く

対数の底の変換公式を使うと、$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ である。

$\log_3 5 \cdot \log_5 9 = \frac{\log_5 5}{\log_5 3} \cdot \log_5 9 = \frac{1}{\log_5 3} \cdot \log_5 3^2 = \frac{1}{\log_5 3} \cdot 2\log_5 3 = 2$

または、

$\log_3 5 \cdot \log_5 9 = \log_3 5 \cdot \log_5 3^2 = \log_3 5 \cdot 2\log_5 3 = 2(\log_3 5 \cdot \log_5 3) = 2\left(\log_3 5 \cdot \frac{1}{\log_3 5}\right) = 2$

(6) $\log_4 5 \cdot \log_5 8$ を解く

対数の底の変換公式を使うと、$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ である。

$\log_4 5 \cdot \log_5 8 = \frac{\log_5 5}{\log_5 4} \cdot \log_5 8 = \frac{1}{\log_5 2^2} \cdot \log_5 2^3 = \frac{1}{2\log_5 2} \cdot 3\log_5 2 = \frac{3}{2}$

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3. 最終的な答え

(3) $-\frac{3}{5}$

(4) $1$

(5) $2$

(6) $\frac{3}{2}$