次の和 $S$ を求める問題です。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

1. 問題の内容

次の和 $S$ を求める問題です。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3^3 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

$S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^{k-1}$ を計算します。

両辺に $3$ をかけると、

$3S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^k$

$S$ から $3S$ を引くと、

$S - 3S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^{k-1} - \sum_{k=1}^{n} k \cdot 3^k$

$-2S = 1 + (2-1) \cdot 3 + (3-2) \cdot 3^2 + \cdots + (n-(n-1)) \cdot 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}$ は初項 $1$、公比 $3$ の等比数列の和なので、

$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{1(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3^n - 1}{2}$

したがって、

$-2S = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$

$-2S = \frac{3^n - 1 - 2n \cdot 3^n}{2}$

$S = \frac{2n \cdot 3^n - 3^n + 1}{4}$

$S = \frac{(2n-1)3^n + 1}{4}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{(2n-1)3^n + 1}{4}$