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与えられた数式 $(4-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5} - 2\sqrt{3})(\sqrt{5} + 2\sqrt{3})$ を計算し、最も簡単な形で答えを求める。

代数学式の計算平方根有理化展開
2025/6/29

1. 問題の内容

与えられた数式 (4−2)2−(5−23)(5+23)(4-\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5} - 2\sqrt{3})(\sqrt{5} + 2\sqrt{3}) を計算し、最も簡単な形で答えを求める。

2. 解き方の手順

まず、(4−2)2(4-\sqrt{2})^2 を展開します。
(4−2)2=(4−2)(4−2)=42−2⋅4⋅2+(2)2=16−82+2=18−82(4-\sqrt{2})^2 = (4-\sqrt{2})(4-\sqrt{2}) = 4^2 - 2\cdot 4 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 16 - 8\sqrt{2} + 2 = 18 - 8\sqrt{2}
次に、(5−23)(5+23)(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})(\sqrt{5} + 2\sqrt{3}) を計算します。これは和と差の積の形なので、
(5−23)(5+23)=(5)2−(23)2=5−4⋅3=5−12=−7(\sqrt{5} - 2\sqrt{3})(\sqrt{5} + 2\sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (2\sqrt{3})^2 = 5 - 4\cdot 3 = 5 - 12 = -7
したがって、与えられた式は
(18−82)−(−7)=18−82+7=25−82(18 - 8\sqrt{2}) - (-7) = 18 - 8\sqrt{2} + 7 = 25 - 8\sqrt{2}

3. 最終的な答え

25−8225 - 8\sqrt{2}

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