2次方程式 $x^2 + mx + 2m - 3 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + mx + 2m - 3 = 0$ が異なる2つの虚数解を持つとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

2次方程式が異なる2つの虚数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D < 0$ であることです。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で与えられます。

今回の2次方程式では、$a=1, b=m, c=2m-3$ なので、判別式は次のようになります。

$D = m^2 - 4(1)(2m - 3) = m^2 - 8m + 12$

異なる2つの虚数解を持つ条件は $D < 0$ なので、

$m^2 - 8m + 12 < 0$

この不等式を解くために、まず $m^2 - 8m + 12 = 0$ を解きます。

これは $(m-2)(m-6) = 0$ と因数分解できるので、$m = 2, 6$ です。

したがって、$m^2 - 8m + 12 < 0$ の解は $2 < m < 6$ です。

3. 最終的な答え

$2 < m < 6$