$0 \le a < 1$ のとき、定積分 $\int_{a}^{a+1} 3|x^2 - 1| dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$0 \le a < 1$ のとき、定積分 $\int_{a}^{a+1} 3|x^2 - 1| dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、$|x^2 - 1|$ の絶対値を外すことを考えます。$0 \le a < 1$ より、$a \le x \le a+1$ の範囲で $x^2 - 1$ の符号を調べます。

$x^2 - 1 = 0$ となるのは $x = \pm 1$ のときです。$x \ge 0$ を考えると、$0 \le x \le 1$ で $x^2 - 1 \le 0$ 、$x \ge 1$ で $x^2 - 1 \ge 0$ となります。

$0 \le a < 1$ の場合、区間 $[a, a+1]$ は、$a < 1$ より、$a+1 > 1$ となります。したがって、積分区間 $[a, a+1]$ で $x = 1$ の前後で $x^2 - 1$ の符号が変わります。

そこで、積分を区間 $[a, 1]$ と $[1, a+1]$ に分割します。

$a \le x \le 1$ では $x^2 - 1 \le 0$ なので、$|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$ となります。

$1 \le x \le a+1$ では $x^2 - 1 \ge 0$ なので、$|x^2 - 1| = x^2 - 1$ となります。

したがって、

$\int_{a}^{a+1} 3|x^2 - 1| dx = \int_{a}^{1} 3(1 - x^2) dx + \int_{1}^{a+1} 3(x^2 - 1) dx$

となります。

それぞれの積分を計算します。

$\int_{a}^{1} 3(1 - x^2) dx = 3[x - \frac{x^3}{3}]_{a}^{1} = 3[(1 - \frac{1}{3}) - (a - \frac{a^3}{3})] = 3[\frac{2}{3} - a + \frac{a^3}{3}] = 2 - 3a + a^3$

$\int_{1}^{a+1} 3(x^2 - 1) dx = 3[\frac{x^3}{3} - x]_{1}^{a+1} = 3[(\frac{(a+1)^3}{3} - (a+1)) - (\frac{1}{3} - 1)] = 3[\frac{(a+1)^3}{3} - a - 1 + \frac{2}{3}] = (a+1)^3 - 3a - 3 + 2 = a^3 + 3a^2 + 3a + 1 - 3a - 1 = a^3 + 3a^2$

したがって、

$\int_{a}^{a+1} 3|x^2 - 1| dx = 2 - 3a + a^3 + a^3 + 3a^2 = 2a^3 + 3a^2 - 3a + 2$

3. 最終的な答え

$2a^3 + 3a^2 - 3a + 2$