与えられた三角関数の等式を解く問題です。等式は次の通りです。 $\frac{\cos \theta - 1}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta - 1} = -\frac{2}{\sin \theta}$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の等式を解く問題です。等式は次の通りです。

$\frac{\cos \theta - 1}{\sin \theta} + \frac{\sin \theta}{\cos \theta - 1} = -\frac{2}{\sin \theta}$

2. 解き方の手順

与えられた等式の左辺を通分します。

$\frac{(\cos \theta - 1)^2 + \sin^2 \theta}{\sin \theta (\cos \theta - 1)} = -\frac{2}{\sin \theta}$

分子を展開します。

$\frac{\cos^2 \theta - 2\cos \theta + 1 + \sin^2 \theta}{\sin \theta (\cos \theta - 1)} = -\frac{2}{\sin \theta}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いて式を簡略化します。

$\frac{1 - 2\cos \theta + 1}{\sin \theta (\cos \theta - 1)} = -\frac{2}{\sin \theta}$

$\frac{2 - 2\cos \theta}{\sin \theta (\cos \theta - 1)} = -\frac{2}{\sin \theta}$

$\frac{2(1 - \cos \theta)}{\sin \theta (\cos \theta - 1)} = -\frac{2}{\sin \theta}$

$\frac{-2(\cos \theta - 1)}{\sin \theta (\cos \theta - 1)} = -\frac{2}{\sin \theta}$

$\cos \theta \neq 1$ のとき、$(\cos \theta - 1)$ で割ることができます。

$\frac{-2}{\sin \theta} = -\frac{2}{\sin \theta}$

この式は $\cos \theta \neq 1$ の時、$\theta$ のどんな値に対しても成り立ちます。ただし、$\sin \theta \neq 0$ でなければなりません。

$\cos \theta = 1$ のとき、$\theta = 2n\pi$ ($n$は整数)　となります。このとき、$\sin \theta = 0$ なので元の式は定義されません。

$\sin \theta = 0$ のとき、$\theta = n\pi$ ($n$は整数)　となります。このとき、元の式は定義されません。

したがって、$\theta \neq n\pi$ ($\theta$ は $n$π にならない) であれば、与えられた等式は成り立ちます。

3. 最終的な答え

$\theta \neq n\pi$ (nは整数)