数直線上を点Pが以下の規則で移動する。 * 最初は原点Oから正の向きに1進む。 * 次に負の向きに $\frac{1}{2^2}$ 進む。 * 次に正の向きに $\frac{1}{2^4}$ 進む。 * 次に負の向きに $\frac{1}{2^6}$ 進む。 この運動を無限に繰り返すとき、点Pが近づいていく点の座標を求める。

1. 問題の内容

数直線上を点Pが以下の規則で移動する。

* 最初は原点Oから正の向きに1進む。

* 次に負の向きに $\frac{1}{2^2}$ 進む。

* 次に正の向きに $\frac{1}{2^4}$ 進む。

* 次に負の向きに $\frac{1}{2^6}$ 進む。

この運動を無限に繰り返すとき、点Pが近づいていく点の座標を求める。

2. 解き方の手順

点Pの座標を順に書き出すと以下のようになる。

1. $1$

2. $1 - \frac{1}{2^2} = 1 - \frac{1}{4}$

3. $1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

4. $1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^4} - \frac{1}{2^6} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} - \frac{1}{64}$

これは初項1、公比 $-\frac{1}{4}$ の無限等比級数である。

無限等比級数の和の公式は $|r| < 1$ のとき、

$S = \frac{a}{1-r}$

である。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比である。

この問題では、$a=1$、$r = -\frac{1}{4}$ なので、

$S = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{4})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{5}$