定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin|x-\frac{\pi}{3}| dx$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いて、指定された形式で回答します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2\pi} \sin|x-\frac{\pi}{3}| dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

絶対値記号があるので、積分区間を場合分けして計算します。

$x - \frac{\pi}{3} \ge 0$ のとき、つまり $x \ge \frac{\pi}{3}$ のとき $|x - \frac{\pi}{3}| = x - \frac{\pi}{3}$

$x - \frac{\pi}{3} < 0$ のとき、つまり $x < \frac{\pi}{3}$ のとき $|x - \frac{\pi}{3}| = - (x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} - x$

したがって、積分は以下のように分割できます。

$\int_{0}^{2\pi} \sin|x-\frac{\pi}{3}| dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin(\frac{\pi}{3} - x) dx + \int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin(x - \frac{\pi}{3}) dx$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin(\frac{\pi}{3} - x) dx = [\cos(\frac{\pi}{3} - x)]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \cos(0) - \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} \sin(x - \frac{\pi}{3}) dx = [-\cos(x - \frac{\pi}{3})]_{\frac{\pi}{3}}^{2\pi} = -\cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) + \cos(0) = -\cos(\frac{5\pi}{3}) + 1 = - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

別の方法として

$-\cos(2\pi-\frac{\pi}{3})+1 = -\cos(\frac{\pi}{3}) +1 = -\frac{1}{2} + 1= \frac{1}{2}$

よって

$\int_{0}^{2\pi} \sin|x-\frac{\pi}{3}| dx = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

3. 最終的な答え

1