定積分 $\int_0^1 \sqrt{2-y^2} \, dy$ を計算します。

はい、承知いたしました。問題の積分を解きます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 \sqrt{2-y^2} \, dy$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\sqrt{2-y^2}$ の積分を計算するために、三角関数による置換積分を行います。

$y = \sqrt{2} \sin\theta$ と置換します。すると $dy = \sqrt{2} \cos\theta \, d\theta$ となります。

また、積分区間も変換する必要があります。

$y = 0$ のとき、$\sqrt{2} \sin\theta = 0$ なので $\theta = 0$ です。

$y = 1$ のとき、$\sqrt{2} \sin\theta = 1$ なので $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となり $\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

置換積分を行うと、

$\int_0^1 \sqrt{2-y^2} \, dy = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2 - 2\sin^2\theta} \cdot \sqrt{2} \cos\theta \, d\theta$

$= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2(1 - \sin^2\theta)} \cdot \sqrt{2} \cos\theta \, d\theta$

$= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2\cos^2\theta} \cdot \sqrt{2} \cos\theta \, d\theta$

$= \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{2} \cos\theta \cdot \sqrt{2} \cos\theta \, d\theta$

$= 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos^2\theta \, d\theta$

ここで、$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ を用います。

$= 2 \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \, d\theta$

$= \int_0^{\frac{\pi}{4}} (1 + \cos(2\theta)) \, d\theta$

$= \left[ \theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{4}}$

$= \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) - \left( 0 + \frac{1}{2}\sin(0) \right)$

$= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1 - 0$

$= \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$