問題は以下の定積分を計算することです。 $\int_{0}^{2\pi} e^{-|\sin t|} dt$

はい、承知いたしました。積分問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は以下の定積分を計算することです。

$\int_{0}^{2\pi} e^{-|\sin t|} dt$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $e^{-|\sin t|}$ が周期 $\pi$ を持つ偶関数であることに注目します。つまり、以下の性質が成り立ちます。

* $e^{-|\sin(t + \pi)|} = e^{-|\sin t|}$

* $e^{-|\sin(-t)|} = e^{-|\sin t|}$

したがって、積分範囲を $[0, 2\pi]$ から $[0, \pi]$ に縮小し、さらに $[0, \pi/2]$ に縮小することで、計算を簡単化できます。

$\int_{0}^{2\pi} e^{-|\sin t|} dt = 2\int_{0}^{\pi} e^{-|\sin t|} dt = 4\int_{0}^{\pi/2} e^{-|\sin t|} dt$

区間 $[0, \pi/2]$ では、$\sin t$ は常に非負なので、$|\sin t| = \sin t$ となります。よって、積分は以下のようになります。

$4\int_{0}^{\pi/2} e^{-\sin t} dt$

この積分は初等関数では表せませんが、修正ベッセル関数を用いて表現できます。

修正ベッセル関数 $I_0(x)$ は次のように定義されます。

$I_0(x) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} e^{x\cos\theta} d\theta$

変数変換を行います。$t = \frac{\pi}{2} - \theta$ とすると、$dt = -d\theta$ であり、積分範囲は $\theta: \frac{\pi}{2} \to 0$ となります。

$\sin t = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$ となるので、積分は以下のようになります。

$4\int_{0}^{\pi/2} e^{-\sin t} dt = 4\int_{\pi/2}^{0} e^{-\cos \theta} (-d\theta) = 4\int_{0}^{\pi/2} e^{-\cos \theta} d\theta$

ここで、$I_0(-1) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} e^{-\cos\theta} d\theta$ であることと、$\int_{0}^{\pi/2} e^{-\cos \theta} d\theta = \frac{\pi}{2}I_0(-1)$ であることに注意すると、

$4\int_{0}^{\pi/2} e^{-\cos \theta} d\theta = 4 \cdot \frac{\pi}{2} I_0(-1) = 2\pi I_0(-1)$

ここで、$I_0(-1) = I_0(1)$が成立するので、

$I_0(1) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} e^{\cos \theta} d\theta$

となります。数値計算をすると、$I_0(1) \approx 1.266065877520082$ となります。

したがって、$2\pi I_0(1) \approx 2\pi(1.266065877520082) \approx 7.954926521$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{2\pi} e^{-|\sin t|} dt = 4\int_{0}^{\pi/2} e^{-\sin t} dt = 2\pi I_0(1)$

$I_0(1)$は第一種0次変形ベッセル関数です。

数値的には、$2\pi I_0(1) \approx 7.9549$