与えられた積分 $\int_{0}^{2\pi} e^{-|\sin t|} dt$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分

$\int_{0}^{2\pi} e^{-|\sin t|} dt$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$|\sin t|$ の周期性が $\pi$ であることから、積分区間を $[0, \pi]$ に縮小し、積分を2倍します。

$\int_{0}^{2\pi} e^{-|\sin t|} dt = 2 \int_{0}^{\pi} e^{-|\sin t|} dt$

次に、区間 $[0, \pi]$ で $\sin t \ge 0$ であるため、$|\sin t| = \sin t$ となります。

したがって、

$2 \int_{0}^{\pi} e^{-|\sin t|} dt = 2 \int_{0}^{\pi} e^{-\sin t} dt$

次に、$t = \pi - u$ と変数変換すると、$dt = -du$ となり、積分範囲は $u: \pi \to 0$ となります。

$\int_{0}^{\pi} e^{-\sin t} dt = \int_{\pi}^{0} e^{-\sin(\pi - u)} (-du) = \int_{0}^{\pi} e^{-\sin(\pi - u)} du$

$\sin(\pi - u) = \sin u$ であるため、

$\int_{0}^{\pi} e^{-\sin(\pi - u)} du = \int_{0}^{\pi} e^{-\sin u} du$

これは元の積分と同じです。したがって、この変数変換は直接的な計算には役立ちません。

ベッセル関数を使うことを考えます。

$\int_{0}^{\pi} e^{z \cos \theta} d\theta = \pi I_0(z)$

ここで、$I_0(z)$ は第一種0次の変形ベッセル関数です。

$e^{-\sin t}$ を展開することを考えます。

$e^{-\sin t} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-\sin t)^n}{n!}$

ここで、

$\int_0^{\pi} \sin^n t dt = \begin{cases} 0 & n \text{ が奇数のとき} \\ \frac{\pi}{2^{n}} \binom{n}{n/2} & n \text{ が偶数のとき} \end{cases}$

$\int_{0}^{\pi} e^{-\sin t} dt = \int_{0}^{\pi} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-\sin t)^n}{n!} dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \int_{0}^{\pi} (\sin t)^n dt$

$n = 2k$ とすると、

$\int_{0}^{\pi} e^{-\sin t} dt = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{2k}}{(2k)!} \int_{0}^{\pi} (\sin t)^{2k} dt = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k)!} \frac{\pi}{2^{2k}} \binom{2k}{k} = \pi \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k)!} \frac{(2k)!}{2^{2k} (k!)^2} = \pi \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4^k (k!)^2} = \pi I_0(1)$

したがって、

$\int_{0}^{2\pi} e^{-|\sin t|} dt = 2 \int_{0}^{\pi} e^{-\sin t} dt = 2 \pi I_0(1)$

$I_0(1) \approx 1.26606587752$

$2 \pi I_0(1) \approx 2 \pi (1.26606587752) \approx 7.95774715459$

3. 最終的な答え

$2\pi I_0(1)$

ここで、$I_0(1)$ は第一種0次の変形ベッセル関数であり、近似値は7.957747です。