問題 30: 不定積分 $\int e^{-x} \sin x dx$ を計算せよ。

以下に、いくつかの問題の解答を示します。

1. 問題の内容

問題 30: 不定積分 $\int e^{-x} \sin x dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

部分積分を2回行う。

$I = \int e^{-x} \sin x dx$ とする。

まず、$u = \sin x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = \cos x dx$, $v = -e^{-x}$ であるから、

$I = -e^{-x} \sin x - \int (-e^{-x}) \cos x dx = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x dx$

次に、$\int e^{-x} \cos x dx$ に対して、$u = \cos x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = -\sin x dx$, $v = -e^{-x}$ であるから、

$\int e^{-x} \cos x dx = -e^{-x} \cos x - \int (-e^{-x}) (-\sin x) dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x dx = -e^{-x} \cos x - I$

したがって、

$I = -e^{-x} \sin x + (-e^{-x} \cos x - I)$

$2I = -e^{-x} (\sin x + \cos x)$

$I = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C$

3. 最終的な答え

$\int e^{-x} \sin x dx = -\frac{1}{2} e^{-x} (\sin x + \cos x) + C$

1. 問題の内容

問題 37: 不定積分 $\int x e^{-x} dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

部分積分を行う。

$u = x$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = -e^{-x}$ であるから、

$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -e^{-x} (x+1) + C$

3. 最終的な答え

$\int x e^{-x} dx = -e^{-x} (x+1) + C$

1. 問題の内容

問題 38: 不定積分 $\int x^2 e^{-x} dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

部分積分を2回行う。

$u = x^2$, $dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = -e^{-x}$ であるから、

$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - \int (-e^{-x}) 2x dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx$

$\int x e^{-x} dx$ は問題37で計算したので、$\int x e^{-x} dx = -e^{-x} (x+1) + C$

したがって、

$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2 (-e^{-x} (x+1)) + C = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C = -e^{-x} (x^2 + 2x + 2) + C$

3. 最終的な答え

$\int x^2 e^{-x} dx = -e^{-x} (x^2 + 2x + 2) + C$