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$0 < n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}}} < 1$ を示す問題です。

解析学不等式指数極限
2025/6/29

1. 問題の内容

0<n1n+1−1n<10 < n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}}} < 1 を示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、n>1n > 1 を仮定します。
n1n+1−1nn^{\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}}} の指数部分 1n+1−1n\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}} について考えます。
1n+1−1n=n−n+1nn+1=(n−n+1)(n+n+1)nn+1(n+n+1)=n−(n+1)nn+1(n+n+1)=−1nn+1(n+n+1)\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n} - \sqrt{n+1}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}} = \frac{(\sqrt{n} - \sqrt{n+1})(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})} = \frac{n - (n+1)}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})} = \frac{-1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}
したがって、
1n+1−1n=−1nn+1(n+n+1)\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{-1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}
ここで、nn+1(n+n+1)>0\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1}) > 0 なので、1n+1−1n<0\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}} < 0 となります。
したがって、n1n+1−1n=n−1nn+1(n+n+1)=1n1nn+1(n+n+1)n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}}} = n^{\frac{-1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}} = \frac{1}{n^{\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}}} となります。
1nn+1(n+n+1)>0\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})} > 0 なので、n1nn+1(n+n+1)>1n^{\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}} > 1 となります。
よって、n1n+1−1n=1n1nn+1(n+n+1)<1n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}}} = \frac{1}{n^{\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}}} < 1 となります。
また、1n1nn+1(n+n+1)>0\frac{1}{n^{\frac{1}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})}}} > 0 なので、0<n1n+1−1n<10 < n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}}} < 1 が示されました。

3. 最終的な答え

0<n1n+1−1n<10 < n^{\frac{1}{\sqrt{n+1}} - \frac{1}{\sqrt{n}}} < 1

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