$0 \le x \le 2\pi$ のとき、関数 $f(x) = \sin^2 x - \cos x$ の極値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 2\pi$ のとき、関数 $f(x) = \sin^2 x - \cos x$ の極値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f(x) = \sin^2 x - \cos x$

$f'(x) = 2\sin x \cos x + \sin x = \sin 2x + \sin x$

$f'(x) = \sin x (2\cos x + 1)$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。

$\sin x (2\cos x + 1) = 0$

$\sin x = 0$ または $2\cos x + 1 = 0$

$\sin x = 0$ のとき、$x = 0, \pi, 2\pi$

$2\cos x + 1 = 0$ のとき、$\cos x = -\frac{1}{2}$

$x = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

よって、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は、$x = 0, \frac{2}{3}\pi, \pi, \frac{4}{3}\pi, 2\pi$

増減表を作成する。

| x | 0 | | $\frac{2}{3}\pi$ | | $\pi$ | | $\frac{4}{3}\pi$ | | $2\pi$ |

|--------------|----------|----------|-------------------|----------|----------|----------|-------------------|----------|----------|

| $f'(x)$ | 0 | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + | 0 |

| $f(x)$ | | \ | | / | | \ | | / | |

増減表から極値を判断する。

$x = 0$ のとき、$f(0) = \sin^2 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$

$x = \frac{2}{3}\pi$ のとき、$f(\frac{2}{3}\pi) = \sin^2 (\frac{2}{3}\pi) - \cos (\frac{2}{3}\pi) = (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$ （極大値）

$x = \pi$ のとき、$f(\pi) = \sin^2 \pi - \cos \pi = 0 - (-1) = 1$

$x = \frac{4}{3}\pi$ のとき、$f(\frac{4}{3}\pi) = \sin^2 (\frac{4}{3}\pi) - \cos (\frac{4}{3}\pi) = (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$ （極大値）

$x = 2\pi$ のとき、$f(2\pi) = \sin^2 2\pi - \cos 2\pi = 0 - 1 = -1$

$x = 0, 2\pi$ では極小値をとるかどうかの判定が必要。$x=0$の付近では$f'(x) < 0$、$x=2\pi$の付近では$f'(x) > 0$であるので、$x=0$と$x=2\pi$で極小値-1をとる。

$x = \pi$ では極小値をとるかどうかの判定が必要。$x=\pi$の付近では$f'(x) > 0$から$f'(x) < 0$に変化するので、$x=\pi$で極大値1をとる。

3. 最終的な答え

極大値：$x = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$ で $\frac{5}{4}$

極小値：$x = 0, 2\pi$ で $-1$

極大値：$x = \pi$ で $1$