問題は、ある道のある地域で、点Pから点Qまで遠回りをしないで最短の道順で行く場合の数を求めるものです。(1)すべての道順、(2)点Rを通る道順、(3)×印の箇所を通らない道順を計算します。

1. 問題の内容

問題は、ある道のある地域で、点Pから点Qまで遠回りをしないで最短の道順で行く場合の数を求めるものです。(1)すべての道順、(2)点Rを通る道順、(3)×印の箇所を通らない道順を計算します。

2. 解き方の手順

(1) すべての道順

点Pから点Qまで最短の道順で行くには、右に5回、上に4回移動する必要があります。

したがって、これは5つの右方向の移動と4つの上方向の移動の順列の数に等しくなります。

合計9回の移動のうち、5つが右方向、4つが上方向なので、順列の数は次のようになります。

$\frac{9!}{5!4!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り

(2) Rを通る道順

点Pから点Rまで最短の道順で行くには、右に2回、上に2回移動する必要があります。

その道順の数は $\frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通りです。

点Rから点Qまで最短の道順で行くには、右に3回、上に2回移動する必要があります。

その道順の数は $\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

したがって、点Rを通る道順の総数は、PからRまでの道順の数とRからQまでの道順の数の積になります。

$6 \times 10 = 60$ 通り

(3) ×印の箇所を通らない道順

点A, Bを図のように定めます。

点Pから点Qまでのすべての道順の数は126通りです。(1)より。

点PからAを通り、Bを通り、Qに行く道順の数を求めます。

点PからAまでの道順の数は、右に3回、上に1回移動する必要があるので、$\frac{4!}{3!1!} = 4$ 通りです。

点AからBまでの道順の数は1通りです。

点BからQまでの道順の数は、右に1回、上に2回移動する必要があるので、$\frac{3!}{1!2!} = 3$ 通りです。

したがって、点PからAを通り、Bを通り、Qに行く道順の数は、$4 \times 1 \times 3 = 12$ 通りです。

×印の箇所を通らない道順の数は、すべての道順から、AとBを通る道順の数を引いたものです。

$126 - 12 = 114$ 通り

修正箇所：問題文の図に従い、(3)を修正します。

PからAまでの道順の数は、右に3回、上に1回移動するので $\frac{4!}{3!1!} = 4$ 通り

AからBまでの道順の数は1通り

BからQまでの道順の数は、右に1回、上に2回移動するので $\frac{3!}{1!2!} = 3$ 通り

したがって、PからA、Bを通ってQにたどり着く道順は $4 \times 1 \times 3 = 12$ 通り

よって、求める道順は $126 - 12 = 114$ 通り

さらに画像にある計算を参考に解釈します。

PからAまでの道順の数は $\frac{3!}{3!0!} \times \frac{1!}{0!1!} = 1 \times 1 = 1$ 通りではないようです。$\frac{4!}{3!1!} = 4$ 通りです。

AからBまでの道順の数は 1 通り

BからQまでの道順の数は $\frac{3!}{2!1!} = 3$ 通り

したがって、$4 \times 1 \times 3 = 12$ 通り

したがって、×印の箇所を通らない道順の数は $126 - 12 = 114$ 通り

問題文の画像には $126 - 24 = 102$ と書かれていますが、これは誤りです。画像中の$\frac{4!}{3!1!} \times 1 \times \frac{4!}{2!2!}$という計算も誤りです。最後の$\frac{4!}{2!2!}$ではなく$\frac{3!}{2!1!}$であるべきです。

3. 最終的な答え

(1) すべての道順：126通り

(2) Rを通る道順：60通り

(3) ×印の箇所を通らない道順：114通り