(1) 集合 $X = \{a, b\}$ から集合 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ への写像の総数と単射の総数を求める。 (2) $m \leq n$ のとき、集合 $X = \{1, 2, ..., m\}$ から集合 $Y = \{1, 2, ..., n\}$ への単射の総数を求める。
2025/7/2
1. 問題の内容
(1) 集合 から集合 への写像の総数と単射の総数を求める。
(2) のとき、集合 から集合 への単射の総数を求める。
2. 解き方の手順
(1)
写像の総数:
の各要素に対して の要素を割り当てる。
の要素 に対して、 の要素の選び方は 5 通り。
の要素 に対して、 の要素の選び方は 5 通り。
したがって、写像の総数は 通り。
単射の総数:
単射であるためには、 の異なる要素に対して の異なる要素を割り当てる必要がある。
の要素 に対して、 の要素の選び方は 5 通り。
の要素 に対して、 の要素の選び方は、 に割り当てた要素以外の 4 通り。
したがって、単射の総数は 通り。
(2)
から への単射の総数を求める。ただし、。
の要素 1 に対して、 の要素の選び方は 通り。
の要素 2 に対して、 の要素の選び方は、要素 1 に割り当てた要素以外の 通り。
の要素 3 に対して、 の要素の選び方は、要素 1, 2 に割り当てた要素以外の 通り。
...
の要素 に対して、 の要素の選び方は、要素 1, 2, ..., に割り当てた要素以外の 通り。
したがって、単射の総数は 通り。
これは順列 であり、 と表せる。
3. 最終的な答え
(1)
写像の総数: 25 通り
単射の総数: 20 通り
(2)
単射の総数: 通り。
または 通り。