(1) 集合 $X = \{a, b\}$ から集合 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ への写像の総数と単射の総数を求める。 (2) $m \leq n$ のとき、集合 $X = \{1, 2, ..., m\}$ から集合 $Y = \{1, 2, ..., n\}$ への単射の総数を求める。

1. 問題の内容

(1) 集合 $X = \{a, b\}$ から集合 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ への写像の総数と単射の総数を求める。

(2) $m \leq n$ のとき、集合 $X = \{1, 2, ..., m\}$ から集合 $Y = \{1, 2, ..., n\}$ への単射の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

写像の総数:

$X$ の各要素に対して $Y$ の要素を割り当てる。

$X$ の要素 $a$ に対して、$Y$ の要素の選び方は 5 通り。

$X$ の要素 $b$ に対して、$Y$ の要素の選び方は 5 通り。

したがって、写像の総数は $5 \times 5 = 5^2$ 通り。

単射の総数:

単射であるためには、$X$ の異なる要素に対して $Y$ の異なる要素を割り当てる必要がある。

$X$ の要素 $a$ に対して、$Y$ の要素の選び方は 5 通り。

$X$ の要素 $b$ に対して、$Y$ の要素の選び方は、$a$ に割り当てた要素以外の 4 通り。

したがって、単射の総数は $5 \times 4 = 20$ 通り。

(2)

$X = \{1, 2, ..., m\}$ から $Y = \{1, 2, ..., n\}$ への単射の総数を求める。ただし、$m \leq n$。

$X$ の要素 1 に対して、$Y$ の要素の選び方は $n$ 通り。

$X$ の要素 2 に対して、$Y$ の要素の選び方は、要素 1 に割り当てた要素以外の $n-1$ 通り。

$X$ の要素 3 に対して、$Y$ の要素の選び方は、要素 1, 2 に割り当てた要素以外の $n-2$ 通り。

...

$X$ の要素 $m$ に対して、$Y$ の要素の選び方は、要素 1, 2, ..., $m-1$ に割り当てた要素以外の $n - (m - 1) = n - m + 1$ 通り。

したがって、単射の総数は $n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1)$ 通り。

これは順列 $P(n, m)$ であり、$P(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!}$ と表せる。

3. 最終的な答え

(1)

写像の総数: 25 通り

単射の総数: 20 通り

(2)

単射の総数: $\frac{n!}{(n-m)!}$ 通り。

または $n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1)$ 通り。