(1) 集合 $X = \{a, b\}$ から集合 $Y = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ への写像の総数と単射の総数を求める。 (2) $m \leq n$ のとき、集合 $X = \{1, 2, ..., m\}$ から集合 $Y = \{1, 2, ..., n\}$ への単射の総数を求める。

離散数学写像集合単射順列組み合わせ
2025/7/2

1. 問題の内容

(1) 集合 X={a,b}X = \{a, b\} から集合 Y={1,2,3,4,5}Y = \{1, 2, 3, 4, 5\} への写像の総数と単射の総数を求める。
(2) mnm \leq n のとき、集合 X={1,2,...,m}X = \{1, 2, ..., m\} から集合 Y={1,2,...,n}Y = \{1, 2, ..., n\} への単射の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1)
写像の総数:
XX の各要素に対して YY の要素を割り当てる。
XX の要素 aa に対して、YY の要素の選び方は 5 通り。
XX の要素 bb に対して、YY の要素の選び方は 5 通り。
したがって、写像の総数は 5×5=525 \times 5 = 5^2 通り。
単射の総数:
単射であるためには、XX の異なる要素に対して YY の異なる要素を割り当てる必要がある。
XX の要素 aa に対して、YY の要素の選び方は 5 通り。
XX の要素 bb に対して、YY の要素の選び方は、aa に割り当てた要素以外の 4 通り。
したがって、単射の総数は 5×4=205 \times 4 = 20 通り。
(2)
X={1,2,...,m}X = \{1, 2, ..., m\} から Y={1,2,...,n}Y = \{1, 2, ..., n\} への単射の総数を求める。ただし、mnm \leq n
XX の要素 1 に対して、YY の要素の選び方は nn 通り。
XX の要素 2 に対して、YY の要素の選び方は、要素 1 に割り当てた要素以外の n1n-1 通り。
XX の要素 3 に対して、YY の要素の選び方は、要素 1, 2 に割り当てた要素以外の n2n-2 通り。
...
XX の要素 mm に対して、YY の要素の選び方は、要素 1, 2, ..., m1m-1 に割り当てた要素以外の n(m1)=nm+1n - (m - 1) = n - m + 1 通り。
したがって、単射の総数は n(n1)(n2)(nm+1)n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1) 通り。
これは順列 P(n,m)P(n, m) であり、P(n,m)=n!(nm)!P(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!} と表せる。

3. 最終的な答え

(1)
写像の総数: 25 通り
単射の総数: 20 通り
(2)
単射の総数: n!(nm)!\frac{n!}{(n-m)!} 通り。
または n(n1)(n2)(nm+1)n(n-1)(n-2) \cdots (n-m+1) 通り。

「離散数学」の関連問題

順列 ${}_8P_4$ から組合せ ${}_8C_4$ を引いた値を計算する問題です。つまり、${}_8P_4 - {}_8C_4$ を求めることになります。

順列組合せ組み合わせ
2025/7/10

先生2人と生徒3人が1列に並ぶ場合の並び方について、以下の4つの場合について場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並び方 (2) 生徒3人が連続して並ぶ並び方 (3) 両端が生徒である並び方 (4...

順列組み合わせ場合の数数え上げ
2025/7/10

大人3人と子供3人が輪になって並ぶ場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並び方を求めます。 (2) 大人と子供が交互に並ぶ並び方を求めます。

順列組み合わせ円順列
2025/7/9

無限集合 $X$ の部分集合 $A$ について、以下の2つの命題が正しいか否かを判断し、正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げる。 (1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等...

集合論無限集合対等全単射証明反例
2025/7/9

男子4人と女子4人が手をつないで円を作るとき、次の問いに答えます。 (1) 円の作り方は全部で何通りあるか。 (2) 男子と女子が交互になる円の作り方は何通りあるか。 (3) 男子の太郎君と次郎君が向...

円順列順列組み合わせ場合の数
2025/7/9

図のような道のある町で、AからBまでの最短経路の総数、Qを通る最短経路の総数、PまたはQを通る最短経路の総数をそれぞれ求める問題です。

組み合わせ最短経路順列
2025/7/9

「KAWAGOE」の7文字を1列に並べる場合の数を求める問題です。ただし、Aが2つあるので、同じものを含む順列の考え方を使います。

順列組み合わせ場合の数重複順列
2025/7/9

正六角形を6個の正三角形に分割し、各三角形を異なる色で塗り分ける問題です。ただし、回転して一致する塗り方は同じものとみなします。 (1) 6色すべてを使って塗り分ける方法の数を求めます。 (2) 6色...

組み合わせ場合の数順列円順列正多角形
2025/7/9

(1) 集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ の部分集合を、与えられた集合 $P = \{1, 2, 3, 5\}$, $Q = \{1, 2, 4, 6\}$, $R = \...

集合部分集合補集合共通部分和集合
2025/7/9

与えられた問題は、組み合わせ (combination) に関する計算問題と、正六角形に関する問題です。具体的には、以下の問題があります。 - 問題54: 組み合わせの計算 (6問) - 問題55: ...

組み合わせnCr正六角形組み合わせの計算
2025/7/9