与えられた規則に従って数字1, 2, 3, 4から作られる数列について、以下の3つの問いに答えます。 (1) 数字の合計がnとなる数列の総数を$a_n$としたとき、$n \ge 5$に対して、$a_n$を$a_{n-1}$, $a_{n-2}$, $a_{n-3}$, $a_{n-4}$で表す。 (2) 数列1413は何番目か。 (3) 800番目の数列は何か。

離散数学数列漸化式組み合わせ辞書式順序
2025/7/2

1. 問題の内容

与えられた規則に従って数字1, 2, 3, 4から作られる数列について、以下の3つの問いに答えます。
(1) 数字の合計がnとなる数列の総数をana_nとしたとき、n5n \ge 5に対して、ana_nan1a_{n-1}, an2a_{n-2}, an3a_{n-3}, an4a_{n-4}で表す。
(2) 数列1413は何番目か。
(3) 800番目の数列は何か。

2. 解き方の手順

(1) ana_nを求める漸化式を導出する。合計がnになる数列は、最後の数字が1, 2, 3, 4のいずれかである。
- 最後の数字が1の場合、残りの数字の合計はn1n-1なので、数列の数はan1a_{n-1}個。
- 最後の数字が2の場合、残りの数字の合計はn2n-2なので、数列の数はan2a_{n-2}個。
- 最後の数字が3の場合、残りの数字の合計はn3n-3なので、数列の数はan3a_{n-3}個。
- 最後の数字が4の場合、残りの数字の合計はn4n-4なので、数列の数はan4a_{n-4}個。
したがって、an=an1+an2+an3+an4a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3} + a_{n-4}となります。
(2) 数列1413が何番目かを調べるには、数列の合計が小さい順に並んでいることに注意します。
まず、数列の合計が1, 2, 3, ..., 9となる数列の個数を数えます。
- 合計が1: 1 (1)
- 合計が2: 5 (11, 2)
- 合計が3: 14 (111, 12, 21, 3)
- 合計が4: 40 (1111, 112, 121, 211, 13, 31, 22, 4)
- 合計が5: 121
- 合計が6: 364
- 合計が7: 1093
- 合計が8: 3280
次に合計が9の数列を小さい順に列挙していき、1413が何番目かを調べます。
合計が9となる数列のうち、1から始まるものを考えます。
- 111111111
- 111111112
- 111111121
...
- 1413
数列の合計が8までの数列の総数は、1 + 5 + 14 + 40 + 121 + 364 + 1093 + 3280 = 4918
合計が9となる数列のうち、1で始まる数列を辞書式順に並べ、1413が何番目かを調べます。
1413は、合計が9の数列のうち、ある程度の大きさの位置にあることがわかります。
数列1413より小さい、合計が9の数列を数え上げ、4918に足し合わせることで数列1413の順番を求めることができます。
(3) 800番目の数列を求めるには、数列の合計が小さい順に数列を列挙し、800番目に現れる数列を見つけます。
まず、a1,a2,a3,...a_1, a_2, a_3, ...を計算し、合計がn以下の数列の数を計算します。
合計がn以下の数列の数がある程度大きくなったら、合計がnになる数列を小さい順に列挙し、800番目に最も近い数列を見つけます。
その後、800番目の数列を特定します。
まず、ana_nの初期値を計算します。
a1=4a_1 = 4 (1, 2, 3, 4)
a2=a1+4=4+a0=163=13a_2 = a_1 + 4 = 4 + a_0 = 16-3 = 13
a3=a2+a1+a0+a1a_3 = a_2 + a_1 + a_0 +a_{-1}
a1=4a_1 = 4
a2=a1+a0+a1+a2a_2 = a_1 + a_0 + a_{-1} + a_{-2}
a2=a1+a0+a1+a2a_2 = a_1 + a_0 + a_{-1} + a_{-2}
an=an1+an2+an3+an4a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3} + a_{n-4}
a1=4a_1 = 4
a2=4+4+4+4a_2 = 4+4+4+4
a1=4a_1=4: (1), (2), (3), (4)
a2=10a_2=10: (11), (12), (13), (14), (21), (22), (23), (24), (31), (32), (33), (34), (41), (42), (43), (44)
合計が1と2の数列の数は4+10=14
a3a_3: 111, 112, 113, 114, 121, 122, 123, 124, 131, 132, 133, 134, 141, 142, 143, 144, 211, 212, ...,
4
4

4. $a_3$ = $4^3 - \cdots$

ana_nの初期値を計算し、総和を計算します。
a1=4a_1 = 4
a2=10a_2 = 10
a3=20a_3 = 20
a4=35a_4 = 35
a5=64a_5 = 64
a6=119a_6 = 119
a7=220a_7 = 220
a8=407a_8 = 407
数列の合計が1~4: 4 + 10 + 20 + 35 = 69
数列の合計が1~5: 69 + 64 = 133
数列の合計が1~6: 133 + 119 = 252
数列の合計が1~7: 252 + 220 = 472
数列の合計が1~8: 472 + 407 = 879
800番目の数字列の合計は8です。472番目までが7なので、800 - 472 = 328番目に合計が8の数字列になります。
合計が8の数列を小さい順に並べて328番目を調べます。
まず1から始まる数列の個数を数えます。
1で始まる7文字の数列: 1111111
1で始まる1個以上の文字からなる数列
1で始まる数列の個数を求めます。1xyzのような数列においてx,y,zの合計は7以下でなければなりません。
文字列の長さで分類すると、
長さ1: 1
長さ2: 1x, xは1,2,3,4,5,6,7を満たす必要があります。個数はa_7
長さ3: 1xy, x+y=7, 6, 5, 4, 3, 2,
1.

3. 最終的な答え

(1) an=an1+an2+an3+an4a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3} + a_{n-4}
(2) 4918番目+(1413より前に並ぶ合計9の数列の数)
(3) わからない

「離散数学」の関連問題

AからIの9人がグループ旅行に行き、列車の座席に座っています。座席の配置は図の通りです。6つの条件から、座席番号5に座っているのが誰かを特定します。

論理パズル消去法組み合わせ
2025/7/7

6人の人が丸いテーブルに座っていて、向かい合う人と隣り合う人に関するいくつかの条件が与えられています。 Fの左隣がCであるという条件のもとで、確実に言えることを選択肢の中から選びます。

組み合わせ論理順列配置問題
2025/7/7

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 4, 8\}$、 $B = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ が与えら...

集合補集合和集合共通部分
2025/7/6

集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$, $B = \{3, 4, 5\}$, $C = \{5, 6\}$ について、以下の集合を求めます。 (1) $A \cap B$ (2) $A \c...

集合集合演算共通部分和集合
2025/7/6

75人の生徒にアンケートを取りました。大阪に行ったことがある生徒は31人、神戸に行ったことがある生徒は19人、京都に行ったことがある生徒は38人でした。大阪と神戸の両方に行ったことがある生徒は8人、神...

集合包除原理ベン図
2025/7/6

右の図のような道のある地域で、以下の問いに答えます。 (1) AからBまで最短の道順は何通りあるか。 (2) AからCを通ってBまで最短の道順は何通りあるか。 (3) AからCを通らずにBまで最短の道...

組み合わせ最短経路場合の数
2025/7/6

$x+y+z=10$ を満たす負でない整数 $x, y, z$ の組は何個あるか。

重複組合せ組み合わせ整数解
2025/7/6

12以下の自然数全体の集合を $U$、12の正の約数全体の集合を $A$、10以下の偶数全体の集合を $B$ とするとき、次の集合を求めます。 (1) $\overline{A}$ (2) $\ove...

集合補集合和集合
2025/7/6

右図のような道のある地域で、以下の問いに答える問題です。 (1) AからBまで行く最短の道順は何通りあるか。 (2) AからCを通ってBまで行く最短の道順は何通りあるか。 (3) AからCを通らずにB...

組み合わせ最短経路順列
2025/7/6

右図のような道がある地域で、以下の条件を満たす最短の道順の数を求める問題です。 (1) AからBまで行く (2) AからCを通ってBまで行く (3) AからCを通らずにBまで行く ただし、図がないため...

組み合わせ道順場合の数
2025/7/6