与えられた規則に従って数字1, 2, 3, 4から作られる数列について、以下の3つの問いに答えます。 (1) 数字の合計がnとなる数列の総数を$a_n$としたとき、$n \ge 5$に対して、$a_n$を$a_{n-1}$, $a_{n-2}$, $a_{n-3}$, $a_{n-4}$で表す。 (2) 数列1413は何番目か。 (3) 800番目の数列は何か。

1. 問題の内容

与えられた規則に従って数字1, 2, 3, 4から作られる数列について、以下の3つの問いに答えます。

(1) 数字の合計がnとなる数列の総数を$a_n$としたとき、$n \ge 5$に対して、$a_n$を$a_{n-1}$, $a_{n-2}$, $a_{n-3}$, $a_{n-4}$で表す。

(2) 数列1413は何番目か。

(3) 800番目の数列は何か。

2. 解き方の手順

(1) $a_n$を求める漸化式を導出する。合計がnになる数列は、最後の数字が1, 2, 3, 4のいずれかである。

- 最後の数字が1の場合、残りの数字の合計は$n-1$なので、数列の数は$a_{n-1}$個。

- 最後の数字が2の場合、残りの数字の合計は$n-2$なので、数列の数は$a_{n-2}$個。

- 最後の数字が3の場合、残りの数字の合計は$n-3$なので、数列の数は$a_{n-3}$個。

- 最後の数字が4の場合、残りの数字の合計は$n-4$なので、数列の数は$a_{n-4}$個。

したがって、$a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3} + a_{n-4}$となります。

(2) 数列1413が何番目かを調べるには、数列の合計が小さい順に並んでいることに注意します。

まず、数列の合計が1, 2, 3, ..., 9となる数列の個数を数えます。

- 合計が1: 1 (1)

- 合計が2: 5 (11, 2)

- 合計が3: 14 (111, 12, 21, 3)

- 合計が4: 40 (1111, 112, 121, 211, 13, 31, 22, 4)

- 合計が5: 121

- 合計が6: 364

- 合計が7: 1093

- 合計が8: 3280

次に合計が9の数列を小さい順に列挙していき、1413が何番目かを調べます。

合計が9となる数列のうち、1から始まるものを考えます。

- 111111111

- 111111112

- 111111121

...

- 1413

数列の合計が8までの数列の総数は、1 + 5 + 14 + 40 + 121 + 364 + 1093 + 3280 = 4918

合計が9となる数列のうち、1で始まる数列を辞書式順に並べ、1413が何番目かを調べます。

1413は、合計が9の数列のうち、ある程度の大きさの位置にあることがわかります。

数列1413より小さい、合計が9の数列を数え上げ、4918に足し合わせることで数列1413の順番を求めることができます。

(3) 800番目の数列を求めるには、数列の合計が小さい順に数列を列挙し、800番目に現れる数列を見つけます。

まず、$a_1, a_2, a_3, ...$を計算し、合計がn以下の数列の数を計算します。

合計がn以下の数列の数がある程度大きくなったら、合計がnになる数列を小さい順に列挙し、800番目に最も近い数列を見つけます。

その後、800番目の数列を特定します。

まず、$a_n$の初期値を計算します。

$a_1 = 4$ (1, 2, 3, 4)

$a_2 = a_1 + 4 = 4 + a_0 = 16-3 = 13$

$a_3 = a_2 + a_1 + a_0 +a_{-1}$

$a_1 = 4$

$a_2 = a_1 + a_0 + a_{-1} + a_{-2}$

$a_2 = a_1 + a_0 + a_{-1} + a_{-2}$

$a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3} + a_{n-4}$

$a_1 = 4$

$a_2 = 4+4+4+4$

$a_1=4$: (1), (2), (3), (4)

$a_2=10$: (11), (12), (13), (14), (21), (22), (23), (24), (31), (32), (33), (34), (41), (42), (43), (44)

合計が1と2の数列の数は4+10=14

$a_3$: 111, 112, 113, 114, 121, 122, 123, 124, 131, 132, 133, 134, 141, 142, 143, 144, 211, 212, ...,

4

4

4. $a_3$ = $4^3 - \cdots$

$a_n$の初期値を計算し、総和を計算します。

$a_1 = 4$

$a_2 = 10$

$a_3 = 20$

$a_4 = 35$

$a_5 = 64$

$a_6 = 119$

$a_7 = 220$

$a_8 = 407$

数列の合計が1～4: 4 + 10 + 20 + 35 = 69

数列の合計が1～5: 69 + 64 = 133

数列の合計が1～6: 133 + 119 = 252

数列の合計が1～7: 252 + 220 = 472

数列の合計が1～8: 472 + 407 = 879

800番目の数字列の合計は8です。472番目までが7なので、800 - 472 = 328番目に合計が8の数字列になります。

合計が8の数列を小さい順に並べて328番目を調べます。

まず1から始まる数列の個数を数えます。

1で始まる7文字の数列: 1111111

1で始まる1個以上の文字からなる数列

1で始まる数列の個数を求めます。1xyzのような数列においてx,y,zの合計は7以下でなければなりません。

文字列の長さで分類すると、

長さ1: 1

長さ2: 1x, xは1,2,3,4,5,6,7を満たす必要があります。個数はa_7

長さ3: 1xy, x+y=7, 6, 5, 4, 3, 2,

1.

3. 最終的な答え

(1) $a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + a_{n-3} + a_{n-4}$

(2) 4918番目+(1413より前に並ぶ合計９の数列の数)

(3) わからない