与えられた極限を計算する問題です。 $$\lim_{x \to 0^+} (2x)^{3x}$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算する問題です。

$$\lim_{x \to 0^+} (2x)^{3x}$$

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $0^0$ の形をしています。そこで、自然対数を使って、指数関数の形に変形します。

まず、$y = (2x)^{3x}$ とおきます。両辺の自然対数をとると、

$$\ln y = \ln (2x)^{3x} = 3x \ln(2x)$$

したがって、

$$\lim_{x \to 0^+} \ln y = \lim_{x \to 0^+} 3x \ln(2x)$$

この極限は $0 \cdot (-\infty)$ の形であるため、$\frac{-\infty}{\infty}$ または $\frac{0}{0}$ の形に変形して、ロピタルの定理を適用します。

$$\lim_{x \to 0^+} 3x \ln(2x) = 3 \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(2x)}{1/x}$$

ここで、$\lim_{x \to 0^+} \ln(2x) = -\infty$ および $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty$ であるため、$\frac{-\infty}{\infty}$ の形になっています。よって、ロピタルの定理を適用できます。

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(2x)}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{2}{2x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$

したがって、

$$\lim_{x \to 0^+} \ln y = 0$$

ここで、$y = e^{\ln y}$ であるから、

$$\lim_{x \to 0^+} y = \lim_{x \to 0^+} e^{\ln y} = e^{\lim_{x \to 0^+} \ln y} = e^0 = 1$$

3. 最終的な答え

$$\lim_{x \to 0^+} (2x)^{3x} = 1$$