与えられた積分 $\int (4x^2 + 3) \log x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (4x^2 + 3) \log x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を使って解きます。部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

ここでは、$u = \log x$、$dv = (4x^2 + 3) \, dx$ とします。

まず、$du$ と $v$ を求めます。

$u = \log x$ より、 $du = \frac{1}{x} \, dx$ です。

$dv = (4x^2 + 3) \, dx$ より、$v = \int (4x^2 + 3) \, dx = \frac{4}{3}x^3 + 3x$ です。

部分積分の公式に代入すると、

$\int (4x^2 + 3) \log x \, dx = (\frac{4}{3}x^3 + 3x) \log x - \int (\frac{4}{3}x^3 + 3x) \frac{1}{x} \, dx$

$= (\frac{4}{3}x^3 + 3x) \log x - \int (\frac{4}{3}x^2 + 3) \, dx$

$= (\frac{4}{3}x^3 + 3x) \log x - (\frac{4}{9}x^3 + 3x) + C$

したがって、

$\int (4x^2 + 3) \log x \, dx = (\frac{4}{3}x^3 + 3x) \log x - \frac{4}{9}x^3 - 3x + C$

3. 最終的な答え

$(\frac{4}{3}x^3 + 3x) \log x - \frac{4}{9}x^3 - 3x + C$