次の極限を計算します。 $\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{x - \pi}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{x - \pi}$

2. 解き方の手順

まず、$y = x - \pi$ と置換します。すると、$x = y + \pi$となり、$x \to \pi$ のとき $y \to 0$ となります。したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin (y + \pi)}{y}$

三角関数の加法定理より、$\sin (y + \pi) = \sin y \cos \pi + \cos y \sin \pi = \sin y \cdot (-1) + \cos y \cdot 0 = -\sin y$ であるから、

$\lim_{y \to 0} \frac{-\sin y}{y} = - \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}$

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$ であるから、

$- \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = -1$

3. 最終的な答え

-1