与えられた3つの関数の微分を計算し、空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数の微分を計算し、空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

1. $f(x) = e^{2e^{2x}}$ の微分:

合成関数の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx} e^{g(x)} = e^{g(x)} \cdot g'(x)$。

まず、$g(x) = 2e^{2x}$ とすると、$g'(x) = 2 \cdot e^{2x} \cdot 2 = 4e^{2x}$。

よって、

$f'(x) = e^{2e^{2x}} \cdot 4e^{2x} = 4e^{2x} e^{2e^{2x}}$.

したがって、空欄(1)は4、$e^{2e^{2x}}$の係数であり、空欄(2)は0になります。なぜなら、$4e^{2x} e^{2e^{2x}}=4e^{2x}e^{2e^{2x}}+0x$だからです。

2. $f(x) = \log_e(2\log_e(2x))$ の微分:

合成関数の微分公式を使います。

$\frac{d}{dx} \log_e(g(x)) = \frac{g'(x)}{g(x)}$.

まず、$g(x) = 2\log_e(2x)$ とすると、$g'(x) = 2 \cdot \frac{2}{2x} = \frac{2}{x}$。

よって、

$f'(x) = \frac{\frac{2}{x}}{2\log_e(2x)} = \frac{1}{x\log_e(2x)}$.

$\log_e(2x)=\log_e(x)+\log_e(2)$

空欄(3)は1であり、空欄(4)は2です。

3. $f(x) = \sqrt{2\sqrt{2x}}$ の微分:

$f(x) = (2(2x)^{1/2})^{1/2} = 2^{1/2} (2x)^{1/4} = 2^{1/2} 2^{1/4} x^{1/4} = 2^{3/4} x^{1/4}$。

$f'(x) = 2^{3/4} \cdot \frac{1}{4} x^{-3/4} = \frac{2^{3/4}}{4x^{3/4}} = \frac{1}{2^{5/4} x^{3/4}}$.

$f'(x)=\frac{1}{2 \cdot 2^{1/4}x^{3/4}}=\frac{1}{2\sqrt[4]{2x^3}}$.

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt[4]{2}x^{3/4}}=\frac{1}{2\sqrt[4]{2}x^{3/4}}$.

$f(x) = (2\sqrt{2x})^{1/2} = (2(2x)^{1/2})^{1/2} = 2^{1/2}2^{1/4}x^{1/4} = 2^{3/4} x^{1/4}$.

$f'(x) = 2^{3/4} (1/4)x^{-3/4} = \frac{2^{3/4}}{4x^{3/4}} = \frac{2^{3/4}}{2^2 x^{3/4}} = \frac{1}{2^{5/4}x^{3/4}} = \frac{1}{2(2^{1/4})x^{3/4}}$.

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt[4]{2x^3}}$

指数を小数で表すと、$x^{\frac{3}{4}}$

空欄(5)は$2^{1/4}$の指数部なので0.25であり、空欄(6)は3/4なので0.75である。

3. 最終的な答え

1: (1) 4 (2) 0

2: (3) 1 (4) 2

3: (5) 0.25 (6) 0.75