次の極限を求めます。 $\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x}\right)^x$

1. 問題の内容

次の極限を求めます。

$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x}\right)^x$

2. 解き方の手順

この極限は、$e$ の定義を利用して解くことができます。

$y = \left(1 - \frac{3}{x}\right)^x$ とおきます。

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln \left(1 - \frac{3}{x}\right)^x = x \ln \left(1 - \frac{3}{x}\right)$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{x} \to 0$ となるので、$\ln(1+t) \approx t$ （$t \to 0$ のとき）という近似を利用できます。

$\ln y = x \ln \left(1 - \frac{3}{x}\right) \approx x \left(-\frac{3}{x}\right) = -3$

よって、

$\lim_{x \to \infty} \ln y = -3$

$\lim_{x \to \infty} y = e^{-3}$

別の解法として、以下のような変形を行います。

$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x}\right)^x = \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-3}{x}\right)^x$

ここで、$t = -\frac{x}{3}$ とおくと、$x = -3t$ であり、$x \to \infty$ のとき $t \to -\infty$ となります。

$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{-3}{x}\right)^x = \lim_{t \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{-3t} = \lim_{t \to -\infty} \left[\left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t}\right]^{-3}$

$\lim_{t \to -\infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t} = e$ より、

$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{3}{x}\right)^x = e^{-3}$

3. 最終的な答え

$e^{-3}$