与えられた関数 $\frac{7}{5} \log_e |x-1| - \frac{2}{5} \log_e |x+4|$ の導関数を計算し、その結果を $\frac{x + [1]}{x^2 + [2]x - [3]}$ の形に表現するとき、[1], [2], [3] に入る数値を求める。

## 問題１

1. 問題の内容

与えられた関数 $\frac{7}{5} \log_e |x-1| - \frac{2}{5} \log_e |x+4|$ の導関数を計算し、その結果を $\frac{x + [1]}{x^2 + [2]x - [3]}$ の形に表現するとき、[1], [2], [3] に入る数値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の導関数を計算します。

$\frac{d}{dx} (\frac{7}{5} \log_e |x-1| - \frac{2}{5} \log_e |x+4|) = \frac{7}{5} \frac{1}{x-1} - \frac{2}{5} \frac{1}{x+4}$

これを整理すると、

$\frac{7(x+4) - 2(x-1)}{5(x-1)(x+4)} = \frac{7x + 28 - 2x + 2}{5(x^2 + 3x - 4)} = \frac{5x + 30}{5(x^2 + 3x - 4)} = \frac{x + 6}{x^2 + 3x - 4}$

したがって、$\frac{x + [1]}{x^2 + [2]x - [3]} = \frac{x + 6}{x^2 + 3x - 4}$ と比較すると、

[1] = 6, [2] = 3, [3] = 4

3. 最終的な答え

[1] = 6

[2] = 3

[3] = 4

## 問題２

1. 問題の内容

与えられた関数 $\frac{e^{2x}}{4} (2x - 1)$ の導関数を計算し、その結果を $xe^{[4]}x$ の形に表現するとき、[4] に入る数値を求める。

2. 解き方の手順

積の微分法則を用いて、与えられた関数の導関数を計算します。

$(\frac{e^{2x}}{4} (2x - 1))' = (\frac{e^{2x}}{4})' (2x - 1) + \frac{e^{2x}}{4} (2x - 1)'$

$= \frac{2e^{2x}}{4} (2x - 1) + \frac{e^{2x}}{4} (2) = \frac{e^{2x}}{2} (2x - 1) + \frac{e^{2x}}{2} = \frac{e^{2x}}{2} (2x - 1 + 1) = \frac{e^{2x}}{2} (2x) = xe^{2x}$

したがって、$xe^{[4]}x = xe^{2x}$ と比較すると、

[4] = 2

3. 最終的な答え

[4] = 2

## 問題３

1. 問題の内容

与えられた関数 $\frac{1}{3} \sqrt{(2x+1)^3}$ の導関数を計算し、その結果を $\sqrt{[5]x + [6]}$ の形に表現するとき、[5] と [6] に入る数値を求める。

2. 解き方の手順

$\frac{1}{3} \sqrt{(2x+1)^3} = \frac{1}{3} (2x+1)^{\frac{3}{2}}$

$(\frac{1}{3} (2x+1)^{\frac{3}{2}})' = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} (2x+1)^{\frac{1}{2}} \cdot 2 = (2x+1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2x+1}$

したがって、$\sqrt{[5]x + [6]} = \sqrt{2x+1}$ と比較すると、

[5] = 2, [6] = 1

3. 最終的な答え

[5] = 2

[6] = 1

## 問題４

1. 問題の内容

与えられた関数 $\log_e (x^{3.14})$ の導関数を計算し、その結果を $\frac{[7]}{x}$ の形に表現するとき、[7] に入る数値を求める。

2. 解き方の手順

$\log_e (x^{3.14}) = 3.14 \log_e (x)$

$(\log_e (x^{3.14}))' = (3.14 \log_e (x))' = 3.14 \cdot \frac{1}{x} = \frac{3.14}{x}$

したがって、$\frac{[7]}{x} = \frac{3.14}{x}$ と比較すると、

[7] = 3.14

3. 最終的な答え

[7] = 3.14

## 問題５

1. 問題の内容

与えられた関数 $e^{2x^2 - 3x + 1}$ の導関数を計算し、その結果を $([8]x - [9]) e^{2x^2 - 3x + 1}$ の形に表現するとき、[8] と [9] に入る数値を求める。

2. 解き方の手順

$(e^{2x^2 - 3x + 1})' = e^{2x^2 - 3x + 1} \cdot (2x^2 - 3x + 1)' = e^{2x^2 - 3x + 1} \cdot (4x - 3) = (4x - 3) e^{2x^2 - 3x + 1}$

したがって、$([8]x - [9]) e^{2x^2 - 3x + 1} = (4x - 3) e^{2x^2 - 3x + 1}$ と比較すると、

[8] = 4, [9] = 3

3. 最終的な答え

[8] = 4

[9] = 3