関数 $f(x)$ が以下のように定義されているとき、 $x=2$ で微分可能となるような定数 $\alpha$ と $\beta$ の値を求める問題です。 $f(x) = \begin{cases} x^3 + \alpha x & (x \geq 2) \\ \beta x^2 - \alpha x & (x < 2) \end{cases}$

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が以下のように定義されているとき、 $x=2$ で微分可能となるような定数 $\alpha$ と $\beta$ の値を求める問題です。

$f(x) = \begin{cases} x^3 + \alpha x & (x \geq 2) \\ \beta x^2 - \alpha x & (x < 2) \end{cases}$

2. 解き方の手順

$f(x)$ が $x=2$ で微分可能であるためには、以下の2つの条件を満たす必要があります。

* $f(x)$ が $x=2$ で連続であること

* $x=2$ における左右の微分係数が一致すること

まず、$f(x)$ が $x=2$ で連続である条件を考えます。連続であるためには、以下の式が成立する必要があります。

$\lim_{x \to 2+0} f(x) = \lim_{x \to 2-0} f(x) = f(2)$

つまり、

$2^3 + \alpha \cdot 2 = \beta \cdot 2^2 - \alpha \cdot 2$

$8 + 2\alpha = 4\beta - 2\alpha$

整理すると、

$4\alpha - 4\beta = -8$

$\alpha - \beta = -2$

$\alpha = \beta - 2$ (1)

次に、$x=2$ における左右の微分係数が一致する条件を考えます。$f(x)$ をそれぞれ微分します。

$f'(x) = \begin{cases} 3x^2 + \alpha & (x > 2) \\ 2\beta x - \alpha & (x < 2) \end{cases}$

微分係数が一致するためには、

$\lim_{x \to 2+0} f'(x) = \lim_{x \to 2-0} f'(x)$

つまり、

$3(2^2) + \alpha = 2\beta(2) - \alpha$

$12 + \alpha = 4\beta - \alpha$

$2\alpha - 4\beta = -12$

$\alpha - 2\beta = -6$ (2)

(1)を(2)に代入すると、

$(\beta - 2) - 2\beta = -6$

$-\beta - 2 = -6$

$-\beta = -4$

$\beta = 4$

$\beta = 4$ を (1) に代入すると、

$\alpha = 4 - 2$

$\alpha = 2$

3. 最終的な答え

$\alpha = 2$

$\beta = 4$