関数 $f(x) = (2x)^{3x}$ の導関数を求める問題です。与えられた手順に従って、空欄を埋めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (2x)^{3x}$ の導関数を求める問題です。与えられた手順に従って、空欄を埋めます。

2. 解き方の手順

ステップ1：関数の両辺の自然対数をとります。

$f(x) = (2x)^{3x}$

$\log_e f(x) = \log_e (2x)^{3x}$

$\log_e f(x) = 3x \log_e (2x)$

よって、(1)は3、(2)は2となります。

ステップ2：ステップ1で得られた式の両辺を $x$ で微分します。

$\log_e f(x) = 3x \log_e (2x)$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = 3 \log_e (2x) + 3x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = 3 \log_e (2x) + 3x \cdot \frac{1}{x}$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = 3 \log_e (2x) + 3$

$\frac{f'(x)}{f(x)} = 3 (1 + \log_e (2x))$

よって、(3)は3、(4)は1、(5)は2となります。

ステップ3：$f'(x)$を求めます。

$\frac{f'(x)}{f(x)} = 3(1 + \log_e(2x))$

$f'(x) = 3 f(x) (1 + \log_e(2x))$

$f'(x) = 3 (2x)^{3x} (1 + \log_e(2x))$

よって、(6)は3、(7)は1、(8)は2、(9)は2、(10)は3となります。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 2

(3) 3

(4) 1

(5) 2

(6) 3

(7) 1

(8) 2

(9) 2

(10) 3