与えられた3つの関数 $f(x)$ について、それぞれの導関数を求め、その導関数が0となる $x$ の値を求めます。それぞれの関数には $x$ の定義域が指定されています。 (1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1, -3 \le x \le 3$ (2) $f(x) = (\sin x - 1)\cos x, -\pi \le x \le \pi$ (3) $f(x) = x^2\sqrt{1-x^2}, -1 \le x \le 1$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数 $f(x)$ について、それぞれの導関数を求め、その導関数が0となる $x$ の値を求めます。それぞれの関数には $x$ の定義域が指定されています。

(1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1, -3 \le x \le 3$

(2) $f(x) = (\sin x - 1)\cos x, -\pi \le x \le \pi$

(3) $f(x) = x^2\sqrt{1-x^2}, -1 \le x \le 1$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^3 - 2x^2 - 4x - 1$

導関数を計算します。

$f'(x) = 3x^2 - 4x - 4$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 4x - 4 = 0$

$(3x + 2)(x - 2) = 0$

$x = -\frac{2}{3}, 2$

これらはどちらも $-3 \le x \le 3$ を満たします。

(2) $f(x) = (\sin x - 1)\cos x$

導関数を計算します。

$f'(x) = \cos x \cdot \cos x + (\sin x - 1) \cdot (-\sin x)$

$f'(x) = \cos^2 x - \sin^2 x + \sin x$

$f'(x) = 1 - \sin^2 x - \sin^2 x + \sin x$

$f'(x) = 1 - 2\sin^2 x + \sin x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 - 2\sin^2 x + \sin x = 0$

$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$

$(2\sin x + 1)(\sin x - 1) = 0$

$\sin x = -\frac{1}{2}$ または $\sin x = 1$

$\sin x = -\frac{1}{2}$ のとき、$x = -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}$

$\sin x = 1$ のとき、$x = \frac{\pi}{2}$

これらはすべて $-\pi \le x \le \pi$ を満たします。

(3) $f(x) = x^2\sqrt{1-x^2}$

導関数を計算します。

$f'(x) = 2x\sqrt{1-x^2} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x)$

$f'(x) = 2x\sqrt{1-x^2} - \frac{x^3}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = \frac{2x(1-x^2) - x^3}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = \frac{2x - 2x^3 - x^3}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = \frac{2x - 3x^3}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = \frac{x(2 - 3x^2)}{\sqrt{1-x^2}}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$x(2 - 3x^2) = 0$

$x = 0$ または $2 - 3x^2 = 0$

$3x^2 = 2$

$x^2 = \frac{2}{3}$

$x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$

これらはすべて $-1 \le x \le 1$ を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{2}{3}, 2$

(2) $x = -\frac{5\pi}{6}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$

(3) $x = 0, \frac{\sqrt{6}}{3}, -\frac{\sqrt{6}}{3}$