媒介変数表示された曲線 $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$) が与えられています。この曲線について、何かを求めよという問題ですが、指示がありません。ここでは、曲線の長さを求めることにします。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$) が与えられています。この曲線について、何かを求めよという問題ですが、指示がありません。ここでは、曲線の長さを求めることにします。

2. 解き方の手順

曲線の長さを求めるには、以下の公式を使用します。

$L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(\cos^3 t) = 3\cos^2 t (-\sin t) = -3\cos^2 t \sin t$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(\sin^3 t) = 3\sin^2 t (\cos t) = 3\sin^2 t \cos t$

次に、$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2$ を計算します。

$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (-3\cos^2 t \sin t)^2 + (3\sin^2 t \cos t)^2 = 9\cos^4 t \sin^2 t + 9\sin^4 t \cos^2 t = 9\cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) = 9\cos^2 t \sin^2 t$

したがって、

$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{9\cos^2 t \sin^2 t} = 3|\cos t \sin t|$

区間 $0 \le t \le 2\pi$ で積分する必要があります。ただし、$|\cos t \sin t|$ の符号が変わるため、積分区間を分割する必要があります。

$|\cos t \sin t| = \frac{1}{2} |\sin(2t)|$ であり、$0$から$2\pi$まででは$|\sin(2t)|$は$0$になる点がいくつかあります。$0 \le t \le 2\pi$では$\sin(2t)$は$t=0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$で$0$になります。また、$\pi/4, 3\pi/4, 5\pi/4, 7\pi/4$でも変化します。これらの区間を考慮して積分することで、曲線の長さを求めることができます。

ここでは、対称性を用いて、第一象限($0 \le t \le \pi/2$)の長さを計算し、それを4倍することによって曲線の長さを求めます。$0 \le t \le \pi/2$では、$\cos t \ge 0$、$\sin t \ge 0$なので、$|\cos t \sin t| = \cos t \sin t$。したがって、

$L = 4 \int_{0}^{\pi/2} 3 \cos t \sin t dt = 12 \int_{0}^{\pi/2} \cos t \sin t dt$

$u = \sin t$ とすると、$du = \cos t dt$。$t=0$のとき、$u=0$、$t=\pi/2$のとき、$u=1$。

$L = 12 \int_{0}^{1} u du = 12 \left[\frac{1}{2}u^2\right]_{0}^{1} = 12 \left(\frac{1}{2}\right) = 6$

曲線を一周するため、区間は$0 \le t \le 2\pi$ですので、結果をさらに2倍にする必要があります。

したがって、曲線の全長は$6 \times 2 = 12$

3. 最終的な答え

12