次の極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を整理します。

$\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \log(1 + e^x)$

次に、$\frac{1}{x}$ を掛ける代わりに、$\log(1+e^x)$を$x$で割ることを考えます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x}$

$x \to \infty$ のとき、$e^x$ は 1 よりもずっと大きくなるので、$1+e^x \approx e^x$ と近似できます。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^x)}{x}$

対数の性質より$\log(e^x) = x$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} = \lim_{x \to \infty} 1 = 1$

したがって、元の極限は1に収束します。

より厳密な解法としては、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^x(e^{-x} + 1))}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^x) + \log(e^{-x} + 1)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \log(e^{-x} + 1)}{x}$

$= \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\log(e^{-x} + 1)}{x}\right)$

$x \to \infty$ のとき、$e^{-x} \to 0$ なので、$\log(e^{-x} + 1) \to \log(1) = 0$。したがって、$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^{-x} + 1)}{x} = 0$。

よって、$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\log(e^{-x} + 1)}{x}\right) = 1 + 0 = 1$

3. 最終的な答え

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