次の極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$

解析学極限対数指数関数収束
2025/7/9

1. 問題の内容

次の極限を計算します。
limxlog(1+ex)1x\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}}

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を整理します。
limxlog(1+ex)1x=limx1xlog(1+ex)\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \log(1 + e^x)
次に、1x\frac{1}{x} を掛ける代わりに、log(1+ex)\log(1+e^x)xxで割ることを考えます。
limxlog(1+ex)x\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x}
xx \to \infty のとき、exe^x は 1 よりもずっと大きくなるので、1+exex1+e^x \approx e^x と近似できます。したがって、
limxlog(1+ex)x=limxlog(ex)x\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^x)}{x}
対数の性質よりlog(ex)=x\log(e^x) = x なので、
limxlog(ex)x=limxxx\lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}
limxxx=limx1=1\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} = \lim_{x \to \infty} 1 = 1
したがって、元の極限は1に収束します。
より厳密な解法としては、
limxlog(1+ex)x=limxlog(ex(ex+1))x=limxlog(ex)+log(ex+1)x=limxx+log(ex+1)x\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^x(e^{-x} + 1))}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^x) + \log(e^{-x} + 1)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \log(e^{-x} + 1)}{x}
=limx(1+log(ex+1)x)= \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\log(e^{-x} + 1)}{x}\right)
xx \to \infty のとき、ex0e^{-x} \to 0 なので、log(ex+1)log(1)=0\log(e^{-x} + 1) \to \log(1) = 0。したがって、limxlog(ex+1)x=0\lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^{-x} + 1)}{x} = 0
よって、limx(1+log(ex+1)x)=1+0=1\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\log(e^{-x} + 1)}{x}\right) = 1 + 0 = 1

3. 最終的な答え

1

「解析学」の関連問題

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx$ の値を求めます。

定積分絶対値積分
2025/7/9

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)| dx$ を計算する問題です。

定積分絶対値積分計算
2025/7/9

関数 $y = x + \sin x$ の区間 $I = [0, 2\pi]$ における増減を調べる問題です。微分 $y'$ を求め、$y' = 0$ となる $x$ の値を求め、増減表を作成して関数...

微分関数の増減三角関数増減表単調増加
2025/7/9

媒介変数 $t$ を用いて、$x(t) = 3\cos t + 2\cos\frac{3}{2}t$、$y(t) = 3\sin t - 2\sin\frac{3}{2}t$ と表される曲線 $C$ ...

媒介変数微分接線三角関数
2025/7/9

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ ($-\pi \le x < \pi$) のフーリエ級数を求める問題です。

フーリエ級数三角関数積分
2025/7/9

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ ($-\pi \le x < \pi$), $f(x+2\pi) = f(x)$ のフーリエ級数を求める。

フーリエ級数三角関数積分偶関数積和の公式
2025/7/9

関数 $f(\theta) = 2\sqrt{3}\cos^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta$ が与えられています。 (1) 2倍角の公式を用いて $\sin \...

三角関数最大値最小値2倍角の公式
2025/7/9

与えられた三角関数の値をそれぞれ求める問題です。具体的には、 (ア) $\sin \frac{7}{4}\pi$ (イ) $\cos \frac{2}{3}\pi$ (ウ) $\tan \frac{7...

三角関数三角比sincostanラジアン
2025/7/9

アステロイド曲線 $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$, $a > 0$) で囲まれた図形の面積を求めます。

積分パラメータ表示面積アステロイド
2025/7/9

問題文は、2つの関数 $f(x) = x^3 + px^2 + qx + \frac{7}{2}$ と $g(x) = x^2 + 8x + r$ について、以下の問いに答えるものです。 (1) $f...

微分極値接線積分面積
2025/7/9