次の極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$解析学極限対数指数関数収束2025/7/91. 問題の内容次の極限を計算します。limx→∞log(1+ex)1x\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}}limx→∞log(1+ex)x12. 解き方の手順まず、対数の性質を使って式を整理します。limx→∞log(1+ex)1x=limx→∞1xlog(1+ex)\lim_{x \to \infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \log(1 + e^x)limx→∞log(1+ex)x1=limx→∞x1log(1+ex)次に、1x\frac{1}{x}x1 を掛ける代わりに、log(1+ex)\log(1+e^x)log(1+ex)をxxxで割ることを考えます。limx→∞log(1+ex)x\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x}limx→∞xlog(1+ex)x→∞x \to \inftyx→∞ のとき、exe^xex は 1 よりもずっと大きくなるので、1+ex≈ex1+e^x \approx e^x1+ex≈ex と近似できます。したがって、limx→∞log(1+ex)x=limx→∞log(ex)x\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^x)}{x}limx→∞xlog(1+ex)=limx→∞xlog(ex)対数の性質よりlog(ex)=x\log(e^x) = xlog(ex)=x なので、limx→∞log(ex)x=limx→∞xx\lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}limx→∞xlog(ex)=limx→∞xxlimx→∞xx=limx→∞1=1\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} = \lim_{x \to \infty} 1 = 1limx→∞xx=limx→∞1=1したがって、元の極限は1に収束します。より厳密な解法としては、limx→∞log(1+ex)x=limx→∞log(ex(e−x+1))x=limx→∞log(ex)+log(e−x+1)x=limx→∞x+log(e−x+1)x\lim_{x \to \infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^x(e^{-x} + 1))}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^x) + \log(e^{-x} + 1)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x + \log(e^{-x} + 1)}{x}limx→∞xlog(1+ex)=limx→∞xlog(ex(e−x+1))=limx→∞xlog(ex)+log(e−x+1)=limx→∞xx+log(e−x+1)=limx→∞(1+log(e−x+1)x)= \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\log(e^{-x} + 1)}{x}\right)=limx→∞(1+xlog(e−x+1))x→∞x \to \inftyx→∞ のとき、e−x→0e^{-x} \to 0e−x→0 なので、log(e−x+1)→log(1)=0\log(e^{-x} + 1) \to \log(1) = 0log(e−x+1)→log(1)=0。したがって、limx→∞log(e−x+1)x=0\lim_{x \to \infty} \frac{\log(e^{-x} + 1)}{x} = 0limx→∞xlog(e−x+1)=0。よって、limx→∞(1+log(e−x+1)x)=1+0=1\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{\log(e^{-x} + 1)}{x}\right) = 1 + 0 = 1limx→∞(1+xlog(e−x+1))=1+0=13. 最終的な答え1