以下の5つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 6x + 2}{2x^2 + 1}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2+x^2}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2}}$ (3) $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - 3x} + x)$ (4) $\lim_{x \to \infty} \{\log x - \log(x-1)\}$　(底が10であると仮定します) (5) $\lim_{x \to -\infty} \frac{(0.5)^x - (0.5)^{-x}}{(0.5)^x + (0.5)^{-x}}$

1. 問題の内容

以下の5つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 6x + 2}{2x^2 + 1}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2+x^2}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2}}$

(3) $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - 3x} + x)$

(4) $\lim_{x \to \infty} \{\log x - \log(x-1)\}$　(底が10であると仮定します)

(5) $\lim_{x \to -\infty} \frac{(0.5)^x - (0.5)^{-x}}{(0.5)^x + (0.5)^{-x}}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2$で分子と分母を割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 6x + 2}{2x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{6}{x} \to 0$、$\frac{2}{x^2} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$となるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{5}{2}$

(2) 分子と分母をそれぞれ有理化します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2+x^2}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{2+x} - \sqrt{2+x^2})(\sqrt{2+x} + \sqrt{2+x^2})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})(\sqrt{2+x} + \sqrt{2+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{(2+x - (2+x^2))(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}{(1+x - (1+x^2))(\sqrt{2+x} + \sqrt{2+x^2})} = \lim_{x \to 0} \frac{(x - x^2)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}{(x - x^2)(\sqrt{2+x} + \sqrt{2+x^2})}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{2+x} + \sqrt{2+x^2}} = \frac{\sqrt{1+0} + \sqrt{1+0}}{\sqrt{2+0} + \sqrt{2+0}} = \frac{1+1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\sqrt{x^2 - 3x} - (-x)$と見て有理化します。$x < 0$なので、$\sqrt{x^2} = -x$に注意します。

$\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - 3x} + x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2 - 3x} + x)(\sqrt{x^2 - 3x} - x)}{\sqrt{x^2 - 3x} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 3x - x^2}{\sqrt{x^2 - 3x} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x}{\sqrt{x^2 - 3x} - x}$

$= \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x}{\sqrt{x^2(1 - \frac{3}{x})} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x}{|x|\sqrt{1 - \frac{3}{x}} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x}{-x\sqrt{1 - \frac{3}{x}} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3}{-\sqrt{1 - \frac{3}{x}} - 1}$

$x \to -\infty$のとき、$\frac{3}{x} \to 0$なので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{-3}{-\sqrt{1 - \frac{3}{x}} - 1} = \frac{-3}{-\sqrt{1-0} - 1} = \frac{-3}{-1-1} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}$

(4) 対数の性質$\log a - \log b = \log \frac{a}{b}$を利用します。

$\lim_{x \to \infty} \{\log x - \log(x-1)\} = \lim_{x \to \infty} \log \frac{x}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \log \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \log \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \log \frac{1}{1-0} = \log 1 = 0$

(5) $y = (0.5)^x$とおくと、$x \to -\infty$のとき、$y \to \infty$となり、$(0.5)^{-x} = \frac{1}{(0.5)^x} = \frac{1}{y}$となるので、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{(0.5)^x - (0.5)^{-x}}{(0.5)^x + (0.5)^{-x}} = \lim_{y \to \infty} \frac{y - \frac{1}{y}}{y + \frac{1}{y}} = \lim_{y \to \infty} \frac{y^2 - 1}{y^2 + 1}$

$y^2$で分子と分母を割ると、

$\lim_{y \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{y^2}}{1 + \frac{1}{y^2}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{2}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\frac{3}{2}$

(4) $0$

(5) $1$