以下の5つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 6x + 2}{2x^2 + 1}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2+x^2}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2}}$ (3) $\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - 3x} + x)$ (4) $\lim_{x \to \infty} \{\log x - \log(x-1)\}$ (底が10であると仮定します) (5) $\lim_{x \to -\infty} \frac{(0.5)^x - (0.5)^{-x}}{(0.5)^x + (0.5)^{-x}}$

解析学極限関数の極限有理化対数関数指数関数
2025/7/9

1. 問題の内容

以下の5つの極限を求める問題です。
(1) limx5x26x+22x2+1\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 6x + 2}{2x^2 + 1}
(2) limx02+x2+x21+x1+x2\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2+x^2}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2}}
(3) limx(x23x+x)\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - 3x} + x)
(4) limx{logxlog(x1)}\lim_{x \to \infty} \{\log x - \log(x-1)\} (底が10であると仮定します)
(5) limx(0.5)x(0.5)x(0.5)x+(0.5)x\lim_{x \to -\infty} \frac{(0.5)^x - (0.5)^{-x}}{(0.5)^x + (0.5)^{-x}}

2. 解き方の手順

(1) x2x^2で分子と分母を割ります。
limx5x26x+22x2+1=limx56x+2x22+1x2\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 6x + 2}{2x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{1}{x^2}}
xx \to \inftyのとき、6x0\frac{6}{x} \to 02x20\frac{2}{x^2} \to 01x20\frac{1}{x^2} \to 0となるので、
limx56x+2x22+1x2=52\lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{6}{x} + \frac{2}{x^2}}{2 + \frac{1}{x^2}} = \frac{5}{2}
(2) 分子と分母をそれぞれ有理化します。
limx02+x2+x21+x1+x2=limx0(2+x2+x2)(2+x+2+x2)(1+x+1+x2)(1+x1+x2)(1+x+1+x2)(2+x+2+x2)\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2+x^2}}{\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{2+x} - \sqrt{2+x^2})(\sqrt{2+x} + \sqrt{2+x^2})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}{(\sqrt{1+x} - \sqrt{1+x^2})(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})(\sqrt{2+x} + \sqrt{2+x^2})}
=limx0(2+x(2+x2))(1+x+1+x2)(1+x(1+x2))(2+x+2+x2)=limx0(xx2)(1+x+1+x2)(xx2)(2+x+2+x2)= \lim_{x \to 0} \frac{(2+x - (2+x^2))(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}{(1+x - (1+x^2))(\sqrt{2+x} + \sqrt{2+x^2})} = \lim_{x \to 0} \frac{(x - x^2)(\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2})}{(x - x^2)(\sqrt{2+x} + \sqrt{2+x^2})}
=limx01+x+1+x22+x+2+x2=1+0+1+02+0+2+0=1+12+2=222=12=22= \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} + \sqrt{1+x^2}}{\sqrt{2+x} + \sqrt{2+x^2}} = \frac{\sqrt{1+0} + \sqrt{1+0}}{\sqrt{2+0} + \sqrt{2+0}} = \frac{1+1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}
(3) x23x(x)\sqrt{x^2 - 3x} - (-x)と見て有理化します。x<0x < 0なので、x2=x\sqrt{x^2} = -xに注意します。
limx(x23x+x)=limx(x23x+x)(x23xx)x23xx=limxx23xx2x23xx=limx3xx23xx\lim_{x \to -\infty} (\sqrt{x^2 - 3x} + x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{(\sqrt{x^2 - 3x} + x)(\sqrt{x^2 - 3x} - x)}{\sqrt{x^2 - 3x} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 3x - x^2}{\sqrt{x^2 - 3x} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x}{\sqrt{x^2 - 3x} - x}
=limx3xx2(13x)x=limx3xx13xx=limx3xx13xx=limx313x1= \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x}{\sqrt{x^2(1 - \frac{3}{x})} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x}{|x|\sqrt{1 - \frac{3}{x}} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3x}{-x\sqrt{1 - \frac{3}{x}} - x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-3}{-\sqrt{1 - \frac{3}{x}} - 1}
xx \to -\inftyのとき、3x0\frac{3}{x} \to 0なので、
limx313x1=3101=311=32=32\lim_{x \to -\infty} \frac{-3}{-\sqrt{1 - \frac{3}{x}} - 1} = \frac{-3}{-\sqrt{1-0} - 1} = \frac{-3}{-1-1} = \frac{-3}{-2} = \frac{3}{2}
(4) 対数の性質logalogb=logab\log a - \log b = \log \frac{a}{b}を利用します。
limx{logxlog(x1)}=limxlogxx1=limxlog111x\lim_{x \to \infty} \{\log x - \log(x-1)\} = \lim_{x \to \infty} \log \frac{x}{x-1} = \lim_{x \to \infty} \log \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}
xx \to \inftyのとき、1x0\frac{1}{x} \to 0なので、
limxlog111x=log110=log1=0\lim_{x \to \infty} \log \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \log \frac{1}{1-0} = \log 1 = 0
(5) y=(0.5)xy = (0.5)^xとおくと、xx \to -\inftyのとき、yy \to \inftyとなり、(0.5)x=1(0.5)x=1y(0.5)^{-x} = \frac{1}{(0.5)^x} = \frac{1}{y}となるので、
limx(0.5)x(0.5)x(0.5)x+(0.5)x=limyy1yy+1y=limyy21y2+1\lim_{x \to -\infty} \frac{(0.5)^x - (0.5)^{-x}}{(0.5)^x + (0.5)^{-x}} = \lim_{y \to \infty} \frac{y - \frac{1}{y}}{y + \frac{1}{y}} = \lim_{y \to \infty} \frac{y^2 - 1}{y^2 + 1}
y2y^2で分子と分母を割ると、
limy11y21+1y2=101+0=1\lim_{y \to \infty} \frac{1 - \frac{1}{y^2}}{1 + \frac{1}{y^2}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1

3. 最終的な答え

(1) 52\frac{5}{2}
(2) 22\frac{\sqrt{2}}{2}
(3) 32\frac{3}{2}
(4) 00
(5) 11

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