4つの定積分を計算する問題です。 1. $\int_{0}^{\pi} x \sin 3x \, dx$

わかりました。画像に写っている4つの積分問題を解きます。

1. 問題の内容

4つの定積分を計算する問題です。

1. $\int_{0}^{\pi} x \sin 3x \, dx$

2. $\int_{0}^{1/3} x e^{3x} \, dx$

3. $\int_{1}^{2} (4x^3 - 5x) \log x \, dx$

4. $\int_{0}^{\pi} e^{4x} \sin 5x \, dx$

2. 解き方の手順

1. $\int_{0}^{\pi} x \sin 3x \, dx$:

部分積分を使います。$u = x$, $dv = \sin 3x \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{3} \cos 3x$ となります。

$\int x \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x - \int -\frac{1}{3} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C$

したがって、

$\int_{0}^{\pi} x \sin 3x \, dx = \left[-\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x \right]_{0}^{\pi} = -\frac{1}{3} \pi \cos 3\pi + \frac{1}{9} \sin 3\pi - (0 + 0) = -\frac{1}{3} \pi (-1) = \frac{\pi}{3}$

2. $\int_{0}^{1/3} x e^{3x} \, dx$:

部分積分を使います。$u = x$, $dv = e^{3x} \, dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{3} e^{3x}$ となります。

$\int x e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} x e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} + C$

したがって、

$\int_{0}^{1/3} x e^{3x} \, dx = \left[\frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} \right]_{0}^{1/3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} e^{3 \cdot \frac{1}{3}} - \frac{1}{9} e^{3 \cdot \frac{1}{3}} - (0 - \frac{1}{9}) = \frac{1}{9} e - \frac{1}{9} e + \frac{1}{9} = \frac{1}{9}$

3. $\int_{1}^{2} (4x^3 - 5x) \log x \, dx$:

部分積分を使います。$u = \log x$, $dv = (4x^3 - 5x) \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} dx$, $v = x^4 - \frac{5}{2}x^2$ となります。

$\int (4x^3 - 5x) \log x \, dx = (x^4 - \frac{5}{2}x^2) \log x - \int (x^4 - \frac{5}{2}x^2) \frac{1}{x} \, dx = (x^4 - \frac{5}{2}x^2) \log x - \int (x^3 - \frac{5}{2}x) \, dx = (x^4 - \frac{5}{2}x^2) \log x - (\frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{4}x^2) + C$

したがって、

$\int_{1}^{2} (4x^3 - 5x) \log x \, dx = \left[(x^4 - \frac{5}{2}x^2) \log x - (\frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{4}x^2) \right]_{1}^{2} = (16 - 10) \log 2 - (4 - 5) - [(1 - \frac{5}{2}) \log 1 - (\frac{1}{4} - \frac{5}{4})] = 6 \log 2 + 1 - 0 - (-1) = 6 \log 2 + 2$

4. $\int_{0}^{\pi} e^{4x} \sin 5x \, dx$:

$I = \int e^{4x} \sin 5x \, dx$

部分積分を2回行います。

$u = \sin 5x, dv = e^{4x}dx \Rightarrow du = 5\cos 5x dx, v = \frac{1}{4} e^{4x}$

$I = \frac{1}{4}e^{4x}\sin 5x - \int \frac{1}{4} e^{4x} 5 \cos 5x dx = \frac{1}{4}e^{4x}\sin 5x - \frac{5}{4} \int e^{4x} \cos 5x dx$

$J = \int e^{4x} \cos 5x dx$

$u = \cos 5x, dv = e^{4x} dx \Rightarrow du = -5\sin 5x dx, v = \frac{1}{4}e^{4x}$

$J = \frac{1}{4}e^{4x}\cos 5x - \int \frac{1}{4} e^{4x} (-5 \sin 5x) dx = \frac{1}{4}e^{4x}\cos 5x + \frac{5}{4} \int e^{4x} \sin 5x dx = \frac{1}{4}e^{4x}\cos 5x + \frac{5}{4}I$

$I = \frac{1}{4}e^{4x}\sin 5x - \frac{5}{4} (\frac{1}{4}e^{4x}\cos 5x + \frac{5}{4}I)$

$I = \frac{1}{4}e^{4x}\sin 5x - \frac{5}{16}e^{4x}\cos 5x - \frac{25}{16}I$

$I + \frac{25}{16}I = \frac{1}{4}e^{4x}\sin 5x - \frac{5}{16}e^{4x}\cos 5x$

$\frac{41}{16}I = \frac{1}{4}e^{4x}\sin 5x - \frac{5}{16}e^{4x}\cos 5x$

$I = \frac{4}{41}e^{4x}\sin 5x - \frac{5}{41}e^{4x}\cos 5x$

$\int_0^\pi e^{4x} \sin 5x dx = \left[\frac{4}{41}e^{4x}\sin 5x - \frac{5}{41}e^{4x}\cos 5x \right]_0^\pi = (\frac{4}{41}e^{4\pi} \sin 5\pi - \frac{5}{41} e^{4\pi} \cos 5\pi) - (0 - \frac{5}{41}) = \frac{5}{41} e^{4\pi} + \frac{5}{41} = \frac{5}{41} (e^{4\pi} + 1)$

3. 最終的な答え

1. $\int_{0}^{\pi} x \sin 3x \, dx = \frac{\pi}{3}$

2. $\int_{0}^{1/3} x e^{3x} \, dx = \frac{1}{9}$

3. $\int_{1}^{2} (4x^3 - 5x) \log x \, dx = 6 \log 2 + 2$

4. $\int_{0}^{\pi} e^{4x} \sin 5x \, dx = \frac{5}{41} (e^{4\pi} + 1)$