4つの定積分を計算する問題です。 1. $\int_{0}^{\pi} x \sin 3x \, dx$

解析学定積分部分積分三角関数指数関数対数関数
2025/7/9
わかりました。画像に写っている4つの積分問題を解きます。

1. 問題の内容

4つの定積分を計算する問題です。

1. $\int_{0}^{\pi} x \sin 3x \, dx$

2. $\int_{0}^{1/3} x e^{3x} \, dx$

3. $\int_{1}^{2} (4x^3 - 5x) \log x \, dx$

4. $\int_{0}^{\pi} e^{4x} \sin 5x \, dx$

2. 解き方の手順

1. $\int_{0}^{\pi} x \sin 3x \, dx$:

部分積分を使います。u=xu = x, dv=sin3xdxdv = \sin 3x \, dx とすると、du=dxdu = dx, v=13cos3xv = -\frac{1}{3} \cos 3x となります。
xsin3xdx=13xcos3x13cos3xdx=13xcos3x+19sin3x+C\int x \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x - \int -\frac{1}{3} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C
したがって、
0πxsin3xdx=[13xcos3x+19sin3x]0π=13πcos3π+19sin3π(0+0)=13π(1)=π3\int_{0}^{\pi} x \sin 3x \, dx = \left[-\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x \right]_{0}^{\pi} = -\frac{1}{3} \pi \cos 3\pi + \frac{1}{9} \sin 3\pi - (0 + 0) = -\frac{1}{3} \pi (-1) = \frac{\pi}{3}

2. $\int_{0}^{1/3} x e^{3x} \, dx$:

部分積分を使います。u=xu = x, dv=e3xdxdv = e^{3x} \, dx とすると、du=dxdu = dx, v=13e3xv = \frac{1}{3} e^{3x} となります。
xe3xdx=13xe3x13e3xdx=13xe3x19e3x+C\int x e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} x e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} + C
したがって、
01/3xe3xdx=[13xe3x19e3x]01/3=1313e31319e313(019)=19e19e+19=19\int_{0}^{1/3} x e^{3x} \, dx = \left[\frac{1}{3} x e^{3x} - \frac{1}{9} e^{3x} \right]_{0}^{1/3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} e^{3 \cdot \frac{1}{3}} - \frac{1}{9} e^{3 \cdot \frac{1}{3}} - (0 - \frac{1}{9}) = \frac{1}{9} e - \frac{1}{9} e + \frac{1}{9} = \frac{1}{9}

3. $\int_{1}^{2} (4x^3 - 5x) \log x \, dx$:

部分積分を使います。u=logxu = \log x, dv=(4x35x)dxdv = (4x^3 - 5x) \, dx とすると、du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx, v=x452x2v = x^4 - \frac{5}{2}x^2 となります。
(4x35x)logxdx=(x452x2)logx(x452x2)1xdx=(x452x2)logx(x352x)dx=(x452x2)logx(14x454x2)+C\int (4x^3 - 5x) \log x \, dx = (x^4 - \frac{5}{2}x^2) \log x - \int (x^4 - \frac{5}{2}x^2) \frac{1}{x} \, dx = (x^4 - \frac{5}{2}x^2) \log x - \int (x^3 - \frac{5}{2}x) \, dx = (x^4 - \frac{5}{2}x^2) \log x - (\frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{4}x^2) + C
したがって、
12(4x35x)logxdx=[(x452x2)logx(14x454x2)]12=(1610)log2(45)[(152)log1(1454)]=6log2+10(1)=6log2+2\int_{1}^{2} (4x^3 - 5x) \log x \, dx = \left[(x^4 - \frac{5}{2}x^2) \log x - (\frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{4}x^2) \right]_{1}^{2} = (16 - 10) \log 2 - (4 - 5) - [(1 - \frac{5}{2}) \log 1 - (\frac{1}{4} - \frac{5}{4})] = 6 \log 2 + 1 - 0 - (-1) = 6 \log 2 + 2

4. $\int_{0}^{\pi} e^{4x} \sin 5x \, dx$:

I=e4xsin5xdxI = \int e^{4x} \sin 5x \, dx
部分積分を2回行います。
u=sin5x,dv=e4xdxdu=5cos5xdx,v=14e4xu = \sin 5x, dv = e^{4x}dx \Rightarrow du = 5\cos 5x dx, v = \frac{1}{4} e^{4x}
I=14e4xsin5x14e4x5cos5xdx=14e4xsin5x54e4xcos5xdxI = \frac{1}{4}e^{4x}\sin 5x - \int \frac{1}{4} e^{4x} 5 \cos 5x dx = \frac{1}{4}e^{4x}\sin 5x - \frac{5}{4} \int e^{4x} \cos 5x dx
J=e4xcos5xdxJ = \int e^{4x} \cos 5x dx
u=cos5x,dv=e4xdxdu=5sin5xdx,v=14e4xu = \cos 5x, dv = e^{4x} dx \Rightarrow du = -5\sin 5x dx, v = \frac{1}{4}e^{4x}
J=14e4xcos5x14e4x(5sin5x)dx=14e4xcos5x+54e4xsin5xdx=14e4xcos5x+54IJ = \frac{1}{4}e^{4x}\cos 5x - \int \frac{1}{4} e^{4x} (-5 \sin 5x) dx = \frac{1}{4}e^{4x}\cos 5x + \frac{5}{4} \int e^{4x} \sin 5x dx = \frac{1}{4}e^{4x}\cos 5x + \frac{5}{4}I
I=14e4xsin5x54(14e4xcos5x+54I)I = \frac{1}{4}e^{4x}\sin 5x - \frac{5}{4} (\frac{1}{4}e^{4x}\cos 5x + \frac{5}{4}I)
I=14e4xsin5x516e4xcos5x2516II = \frac{1}{4}e^{4x}\sin 5x - \frac{5}{16}e^{4x}\cos 5x - \frac{25}{16}I
I+2516I=14e4xsin5x516e4xcos5xI + \frac{25}{16}I = \frac{1}{4}e^{4x}\sin 5x - \frac{5}{16}e^{4x}\cos 5x
4116I=14e4xsin5x516e4xcos5x\frac{41}{16}I = \frac{1}{4}e^{4x}\sin 5x - \frac{5}{16}e^{4x}\cos 5x
I=441e4xsin5x541e4xcos5xI = \frac{4}{41}e^{4x}\sin 5x - \frac{5}{41}e^{4x}\cos 5x
0πe4xsin5xdx=[441e4xsin5x541e4xcos5x]0π=(441e4πsin5π541e4πcos5π)(0541)=541e4π+541=541(e4π+1)\int_0^\pi e^{4x} \sin 5x dx = \left[\frac{4}{41}e^{4x}\sin 5x - \frac{5}{41}e^{4x}\cos 5x \right]_0^\pi = (\frac{4}{41}e^{4\pi} \sin 5\pi - \frac{5}{41} e^{4\pi} \cos 5\pi) - (0 - \frac{5}{41}) = \frac{5}{41} e^{4\pi} + \frac{5}{41} = \frac{5}{41} (e^{4\pi} + 1)

3. 最終的な答え

1. $\int_{0}^{\pi} x \sin 3x \, dx = \frac{\pi}{3}$

2. $\int_{0}^{1/3} x e^{3x} \, dx = \frac{1}{9}$

3. $\int_{1}^{2} (4x^3 - 5x) \log x \, dx = 6 \log 2 + 2$

4. $\int_{0}^{\pi} e^{4x} \sin 5x \, dx = \frac{5}{41} (e^{4\pi} + 1)$

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