f′(x)=e−x+(x−a)(−e−x)=e−x−xe−x+ae−x=(1−x+a)e−x f′(0)=(1−0+a)e−0=1+a f′(0)=2 なので、1+a=2 (2) f(x) の増減、極値を調べ、グラフの概形をかく。 f(x)=(x−1)e−x f′(x)=(1−x+1)e−x=(2−x)e−x f′(x)=0 のとき、2−x=0 より x=2 f′(x)>0 のとき、2−x>0 より x<2 f′(x)<0 のとき、2−x<0 より x>2 増減表は以下のようになります。
| x | ... | 2 | ... |
| -------- | ------ | ---- | ------ |
| f'(x) | + | 0 | - |
| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 |
x=2 のとき、f(2)=(2−1)e−2=e−2 x→∞ のとき、f(x)=(x−1)e−x→0 x→−∞ のとき、f(x)=(x−1)e−x→−∞ グラフの概形は、x が小さいとき負の値を取り、x=1 で f(x)=0 となり、その後増加して x=2 で極大値 e−2 を取り、その後減少して x→∞ で 0 に近づきます。 点 B(0,b) から曲線 y=f(x) に接線を引くことを考えます。 接点の x 座標を t とすると、接点は (t,(t−1)e−t) と表せます。 接線の方程式は、y−(t−1)e−t=(2−t)e−t(x−t) この接線が点 B(0,b) を通るので、b−(t−1)e−t=(2−t)e−t(0−t) b=(t−1)e−t−t(2−t)e−t=(t−1−2t+t2)e−t=(t2−t−1)e−t g(t)=(t2−t−1)e−t とおくと、b=g(t) g′(t)=(2t−1)e−t−(t2−t−1)e−t=(2t−1−t2+t+1)e−t=(−t2+3t)e−t=t(3−t)e−t g′(t)=0 のとき、t=0,3 t≥−1 なので、増減表は以下のようになります。 | t | -1 | ... | 0 | ... | 3 | ... |
| -------- | ------ | ------ | ---- | ------ | ---- | ------ |
| g'(t) | - | - | 0 | + | 0 | - |
| g(t) | 極小 | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |
g(−1)=(1+1−1)e=e g(3)=(9−3−1)e−3=5e−3 b=g(t) より、b の取りうる値の範囲は b≥5e−3 または b≤−1 であり、b≥e も含む。 したがって、b≤−1,b≥5e−3