$f(x) = (x-a)e^{-x}$ という関数が与えられており、以下の3つの問題に答えます。 (1) $f'(0) = 2$ を満たす $a$ の値を求めます。 (2) $f(x)$ の増減、極値を調べ、$y=f(x)$ のグラフの概形を描きます。 (3) 点 $B(0, b)$ から曲線 $y = f(x)$ の $x \ge -1$ の部分に接線を引くことができるとき、$b$ の取りうる値の範囲を求めます。

解析学微分増減極値グラフ接線指数関数
2025/7/9

1. 問題の内容

f(x)=(xa)exf(x) = (x-a)e^{-x} という関数が与えられており、以下の3つの問題に答えます。
(1) f(0)=2f'(0) = 2 を満たす aa の値を求めます。
(2) f(x)f(x) の増減、極値を調べ、y=f(x)y=f(x) のグラフの概形を描きます。
(3) 点 B(0,b)B(0, b) から曲線 y=f(x)y = f(x)x1x \ge -1 の部分に接線を引くことができるとき、bb の取りうる値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) aa の値を求める。
まず、f(x)f(x) を微分します。
f(x)=ex+(xa)(ex)=exxex+aex=(1x+a)exf'(x) = e^{-x} + (x-a)(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} + ae^{-x} = (1 - x + a)e^{-x}
f(0)=(10+a)e0=1+af'(0) = (1 - 0 + a)e^{-0} = 1 + a
f(0)=2f'(0) = 2 なので、1+a=21 + a = 2
したがって、a=1a = 1
(2) f(x)f(x) の増減、極値を調べ、グラフの概形をかく。
f(x)=(x1)exf(x) = (x-1)e^{-x}
f(x)=(1x+1)ex=(2x)exf'(x) = (1 - x + 1)e^{-x} = (2 - x)e^{-x}
f(x)=0f'(x) = 0 のとき、2x=02 - x = 0 より x=2x = 2
f(x)>0f'(x) > 0 のとき、2x>02 - x > 0 より x<2x < 2
f(x)<0f'(x) < 0 のとき、2x<02 - x < 0 より x>2x > 2
増減表は以下のようになります。
| x | ... | 2 | ... |
| -------- | ------ | ---- | ------ |
| f'(x) | + | 0 | - |
| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 |
x=2x = 2 のとき、f(2)=(21)e2=e2f(2) = (2-1)e^{-2} = e^{-2}
極大値は e2e^{-2}
xx \to \infty のとき、f(x)=(x1)ex0f(x) = (x-1)e^{-x} \to 0
xx \to -\infty のとき、f(x)=(x1)exf(x) = (x-1)e^{-x} \to -\infty
グラフの概形は、xx が小さいとき負の値を取り、x=1x=1f(x)=0f(x) = 0 となり、その後増加して x=2x=2 で極大値 e2e^{-2} を取り、その後減少して xx \to \infty00 に近づきます。
(3) bb の取りうる値の範囲を求める。
B(0,b)B(0, b) から曲線 y=f(x)y=f(x) に接線を引くことを考えます。
接点の xx 座標を tt とすると、接点は (t,(t1)et)(t, (t-1)e^{-t}) と表せます。
接線の方程式は、y(t1)et=(2t)et(xt)y - (t-1)e^{-t} = (2-t)e^{-t}(x - t)
この接線が点 B(0,b)B(0, b) を通るので、b(t1)et=(2t)et(0t)b - (t-1)e^{-t} = (2-t)e^{-t}(0 - t)
b=(t1)ett(2t)et=(t12t+t2)et=(t2t1)etb = (t-1)e^{-t} - t(2-t)e^{-t} = (t - 1 - 2t + t^2)e^{-t} = (t^2 - t - 1)e^{-t}
g(t)=(t2t1)etg(t) = (t^2 - t - 1)e^{-t} とおくと、b=g(t)b = g(t)
g(t)=(2t1)et(t2t1)et=(2t1t2+t+1)et=(t2+3t)et=t(3t)etg'(t) = (2t - 1)e^{-t} - (t^2 - t - 1)e^{-t} = (2t - 1 - t^2 + t + 1)e^{-t} = (-t^2 + 3t)e^{-t} = t(3-t)e^{-t}
g(t)=0g'(t) = 0 のとき、t=0,3t = 0, 3
t1t \ge -1 なので、増減表は以下のようになります。
| t | -1 | ... | 0 | ... | 3 | ... |
| -------- | ------ | ------ | ---- | ------ | ---- | ------ |
| g'(t) | - | - | 0 | + | 0 | - |
| g(t) | 極小 | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |
g(1)=(1+11)e=eg(-1) = (1 + 1 - 1)e = e
g(0)=1g(0) = -1
g(3)=(931)e3=5e3g(3) = (9 - 3 - 1)e^{-3} = 5e^{-3}
b=g(t)b = g(t) より、bb の取りうる値の範囲は b5e3b \ge 5e^{-3} または b1b \le -1 であり、beb \ge e も含む。
したがって、b1,b5e3b \le -1, b \ge 5e^{-3}

3. 最終的な答え

(1) a=1a = 1
(2) 増減表とグラフの概形は上記参照
(3) b1,b5e3b \le -1, b \ge 5e^{-3}

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