$f(x) = (x-a)e^{-x}$ という関数が与えられており、以下の3つの問題に答えます。 (1) $f'(0) = 2$ を満たす $a$ の値を求めます。 (2) $f(x)$ の増減、極値を調べ、$y=f(x)$ のグラフの概形を描きます。 (3) 点 $B(0, b)$ から曲線 $y = f(x)$ の $x \ge -1$ の部分に接線を引くことができるとき、$b$ の取りうる値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$f(x) = (x-a)e^{-x}$ という関数が与えられており、以下の3つの問題に答えます。

(1) $f'(0) = 2$ を満たす $a$ の値を求めます。

(2) $f(x)$ の増減、極値を調べ、$y=f(x)$ のグラフの概形を描きます。

(3) 点 $B(0, b)$ から曲線 $y = f(x)$ の $x \ge -1$ の部分に接線を引くことができるとき、$b$ の取りうる値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の値を求める。

まず、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = e^{-x} + (x-a)(-e^{-x}) = e^{-x} - xe^{-x} + ae^{-x} = (1 - x + a)e^{-x}$

$f'(0) = (1 - 0 + a)e^{-0} = 1 + a$

$f'(0) = 2$ なので、$1 + a = 2$

したがって、$a = 1$

(2) $f(x)$ の増減、極値を調べ、グラフの概形をかく。

$f(x) = (x-1)e^{-x}$

$f'(x) = (1 - x + 1)e^{-x} = (2 - x)e^{-x}$

$f'(x) = 0$ のとき、$2 - x = 0$ より $x = 2$

$f'(x) > 0$ のとき、$2 - x > 0$ より $x < 2$

$f'(x) < 0$ のとき、$2 - x < 0$ より $x > 2$

増減表は以下のようになります。

| x | ... | 2 | ... |

| -------- | ------ | ---- | ------ |

| f'(x) | + | 0 | - |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 |

$x = 2$ のとき、$f(2) = (2-1)e^{-2} = e^{-2}$

極大値は $e^{-2}$

$x \to \infty$ のとき、$f(x) = (x-1)e^{-x} \to 0$

$x \to -\infty$ のとき、$f(x) = (x-1)e^{-x} \to -\infty$

グラフの概形は、$x$ が小さいとき負の値を取り、$x=1$ で $f(x) = 0$ となり、その後増加して $x=2$ で極大値 $e^{-2}$ を取り、その後減少して $x \to \infty$ で $0$ に近づきます。

(3) $b$ の取りうる値の範囲を求める。

点 $B(0, b)$ から曲線 $y=f(x)$ に接線を引くことを考えます。

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、接点は $(t, (t-1)e^{-t})$ と表せます。

接線の方程式は、$y - (t-1)e^{-t} = (2-t)e^{-t}(x - t)$

この接線が点 $B(0, b)$ を通るので、$b - (t-1)e^{-t} = (2-t)e^{-t}(0 - t)$

$b = (t-1)e^{-t} - t(2-t)e^{-t} = (t - 1 - 2t + t^2)e^{-t} = (t^2 - t - 1)e^{-t}$

$g(t) = (t^2 - t - 1)e^{-t}$ とおくと、$b = g(t)$

$g'(t) = (2t - 1)e^{-t} - (t^2 - t - 1)e^{-t} = (2t - 1 - t^2 + t + 1)e^{-t} = (-t^2 + 3t)e^{-t} = t(3-t)e^{-t}$

$g'(t) = 0$ のとき、$t = 0, 3$

$t \ge -1$ なので、増減表は以下のようになります。

| t | -1 | ... | 0 | ... | 3 | ... |

| -------- | ------ | ------ | ---- | ------ | ---- | ------ |

| g'(t) | - | - | 0 | + | 0 | - |

| g(t) | 極小 | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |

$g(-1) = (1 + 1 - 1)e = e$

$g(0) = -1$

$g(3) = (9 - 3 - 1)e^{-3} = 5e^{-3}$

$b = g(t)$ より、$b$ の取りうる値の範囲は $b \ge 5e^{-3}$ または $b \le -1$ であり、$b \ge e$ も含む。

したがって、$b \le -1, b \ge 5e^{-3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$

(2) 増減表とグラフの概形は上記参照

(3) $b \le -1, b \ge 5e^{-3}$