与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = \sin^{-1} 4x$ (2) $y = \cos^{-1} \frac{x}{4}$ (3) $y = \tan^{-1} \frac{3}{4}x$ (4) $y = \sin^{-1} \frac{2}{x} \quad (x \geq 2)$ (5) $y = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}$ (6) $y = \sqrt{\tan^{-1}x}$

解析学微分逆三角関数合成関数の微分
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。
(1) y=sin14xy = \sin^{-1} 4x
(2) y=cos1x4y = \cos^{-1} \frac{x}{4}
(3) y=tan134xy = \tan^{-1} \frac{3}{4}x
(4) y=sin12x(x2)y = \sin^{-1} \frac{2}{x} \quad (x \geq 2)
(5) y=sin1xcos1xy = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}
(6) y=tan1xy = \sqrt{\tan^{-1}x}

2. 解き方の手順

(1) y=sin14xy = \sin^{-1} 4x
dydx=11(4x)24=4116x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (4x)^2}} \cdot 4 = \frac{4}{\sqrt{1 - 16x^2}}
(2) y=cos1x4y = \cos^{-1} \frac{x}{4}
dydx=11(x4)214=141x216=116x2\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{4})^2}} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{4\sqrt{1 - \frac{x^2}{16}}} = -\frac{1}{\sqrt{16 - x^2}}
(3) y=tan134xy = \tan^{-1} \frac{3}{4}x
dydx=11+(34x)234=34(1+916x2)=34+94x2=1216+9x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\frac{3}{4}x)^2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4(1 + \frac{9}{16}x^2)} = \frac{3}{4 + \frac{9}{4}x^2} = \frac{12}{16 + 9x^2}
(4) y=sin12x(x2)y = \sin^{-1} \frac{2}{x} \quad (x \geq 2)
dydx=11(2x)2(2x2)=2x214x2=2xx24\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{2}{x})^2}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = -\frac{2}{x^2\sqrt{1 - \frac{4}{x^2}}} = -\frac{2}{x\sqrt{x^2 - 4}}
(5) y=sin1xcos1xy = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}
dydx=11x2cos1xsin1x(11x2)(cos1x)2=cos1x+sin1x1x2(cos1x)2\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot \cos^{-1}x - \sin^{-1}x \cdot (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})}{(\cos^{-1}x)^2} = \frac{\cos^{-1}x + \sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}(\cos^{-1}x)^2}
(6) y=tan1xy = \sqrt{\tan^{-1}x}
dydx=12tan1x11+x2=12(1+x2)tan1x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\tan^{-1}x}} \cdot \frac{1}{1+x^2} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}

3. 最終的な答え

(1) dydx=4116x2\frac{dy}{dx} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16x^2}}
(2) dydx=116x2\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{16 - x^2}}
(3) dydx=1216+9x2\frac{dy}{dx} = \frac{12}{16 + 9x^2}
(4) dydx=2xx24\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{x\sqrt{x^2 - 4}}
(5) dydx=cos1x+sin1x1x2(cos1x)2\frac{dy}{dx} = \frac{\cos^{-1}x + \sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}(\cos^{-1}x)^2}
(6) dydx=12(1+x2)tan1x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1+x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}

「解析学」の関連問題

次の極限を計算する問題です。 (1) $\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 - 8x + 4}{2x^2 + 3x + 7}$ (2) $\lim_{x \to 4} \fr...

極限ロピタルの定理三角関数対数関数
2025/7/9

以下の4つの関数を微分する問題です。4)では $a$ は定数です。 1) $(3x-1)^5$ 2) $\sin(2x^2+1)$ 3) $\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$ 4) $(e...

微分合成関数の微分指数関数三角関数
2025/7/9

与えられた4つの関数を微分する問題です。 1. $y = (3x-1)^5$

微分合成関数の微分導関数
2025/7/9

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)^3| dx$ の値を求めます。

定積分絶対値積分
2025/7/9

定積分 $\int_{0}^{4} |(x-4)(x-1)| dx$ を計算する問題です。

定積分絶対値積分計算
2025/7/9

関数 $y = x + \sin x$ の区間 $I = [0, 2\pi]$ における増減を調べる問題です。微分 $y'$ を求め、$y' = 0$ となる $x$ の値を求め、増減表を作成して関数...

微分関数の増減三角関数増減表単調増加
2025/7/9

媒介変数 $t$ を用いて、$x(t) = 3\cos t + 2\cos\frac{3}{2}t$、$y(t) = 3\sin t - 2\sin\frac{3}{2}t$ と表される曲線 $C$ ...

媒介変数微分接線三角関数
2025/7/9

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ ($-\pi \le x < \pi$) のフーリエ級数を求める問題です。

フーリエ級数三角関数積分
2025/7/9

周期 $2\pi$ の関数 $f(x) = |\sin x|$ ($-\pi \le x < \pi$), $f(x+2\pi) = f(x)$ のフーリエ級数を求める。

フーリエ級数三角関数積分偶関数積和の公式
2025/7/9

関数 $f(\theta) = 2\sqrt{3}\cos^2 \theta - 2\sin \theta \cos \theta$ が与えられています。 (1) 2倍角の公式を用いて $\sin \...

三角関数最大値最小値2倍角の公式
2025/7/9