問題は以下の通りです。 I. $e^{i\alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha$、 $e^{i\beta} = \cos \beta + i \sin \beta$ の積を求めることにより、余弦関数 $\cos(\alpha+\beta)$ と正弦関数 $\sin(\alpha+\beta)$ の加法定理を導きなさい。 II. 次の微分方程式をテキスト「微分積分+微分方程式」P.174定理9.1を用いて与えられた初期条件のもと解を求めてください。 (1) $y'' - y = 0$、$y(0) = 1$、$y'(0) = 0$ (2) $y'' + 2y' + y = 0$、$y(0) = 1$、$y'(0) = 0$ (3) $y'' + y = 0$、$y(0) = 1$、$y'(0) = 1$

解析学複素数加法定理微分方程式初期条件特性方程式
2025/7/9

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。
I. eiα=cosα+isinαe^{i\alpha} = \cos \alpha + i \sin \alphaeiβ=cosβ+isinβe^{i\beta} = \cos \beta + i \sin \beta の積を求めることにより、余弦関数 cos(α+β)\cos(\alpha+\beta) と正弦関数 sin(α+β)\sin(\alpha+\beta) の加法定理を導きなさい。
II. 次の微分方程式をテキスト「微分積分+微分方程式」P.174定理9.1を用いて与えられた初期条件のもと解を求めてください。
(1) yy=0y'' - y = 0y(0)=1y(0) = 1y(0)=0y'(0) = 0
(2) y+2y+y=0y'' + 2y' + y = 0y(0)=1y(0) = 1y(0)=0y'(0) = 0
(3) y+y=0y'' + y = 0y(0)=1y(0) = 1y(0)=1y'(0) = 1

2. 解き方の手順

まず、Iの問題から解きます。
eiαeiβ=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)e^{i\alpha} e^{i\beta} = (\cos \alpha + i \sin \alpha)(\cos \beta + i \sin \beta)
=cosαcosβ+icosαsinβ+isinαcosβ+i2sinαsinβ= \cos \alpha \cos \beta + i \cos \alpha \sin \beta + i \sin \alpha \cos \beta + i^2 \sin \alpha \sin \beta
=(cosαcosβsinαsinβ)+i(sinαcosβ+cosαsinβ)= (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + i(\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)
一方、ei(α+β)=cos(α+β)+isin(α+β)e^{i(\alpha + \beta)} = \cos (\alpha + \beta) + i \sin (\alpha + \beta)
したがって、
cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
次に、IIの微分方程式を解きます。
(1) yy=0y'' - y = 0
特性方程式は r21=0r^2 - 1 = 0。したがって、r=±1r = \pm 1
一般解は y(x)=c1ex+c2exy(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x}
y(x)=c1exc2exy'(x) = c_1 e^x - c_2 e^{-x}
y(0)=c1+c2=1y(0) = c_1 + c_2 = 1
y(0)=c1c2=0y'(0) = c_1 - c_2 = 0
これを解くと、c1=c2=12c_1 = c_2 = \frac{1}{2}
したがって、y(x)=12ex+12ex=coshxy(x) = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} e^{-x} = \cosh x
(2) y+2y+y=0y'' + 2y' + y = 0
特性方程式は r2+2r+1=0r^2 + 2r + 1 = 0。したがって、(r+1)2=0(r+1)^2 = 0r=1r = -1 (重根)。
一般解は y(x)=c1ex+c2xexy(x) = c_1 e^{-x} + c_2 x e^{-x}
y(x)=c1ex+c2exc2xexy'(x) = -c_1 e^{-x} + c_2 e^{-x} - c_2 x e^{-x}
y(0)=c1=1y(0) = c_1 = 1
y(0)=c1+c2=0y'(0) = -c_1 + c_2 = 0
したがって、c1=1c_1 = 1c2=1c_2 = 1
よって、y(x)=ex+xex=(1+x)exy(x) = e^{-x} + x e^{-x} = (1+x)e^{-x}
(3) y+y=0y'' + y = 0
特性方程式は r2+1=0r^2 + 1 = 0。したがって、r=±ir = \pm i
一般解は y(x)=c1cosx+c2sinxy(x) = c_1 \cos x + c_2 \sin x
y(x)=c1sinx+c2cosxy'(x) = -c_1 \sin x + c_2 \cos x
y(0)=c1=1y(0) = c_1 = 1
y(0)=c2=1y'(0) = c_2 = 1
したがって、y(x)=cosx+sinxy(x) = \cos x + \sin x

3. 最終的な答え

I.
cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta
II.
(1) y(x)=coshxy(x) = \cosh x
(2) y(x)=(1+x)exy(x) = (1+x)e^{-x}
(3) y(x)=cosx+sinxy(x) = \cos x + \sin x

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