問題は以下の通りです。 I. $e^{i\alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha$、 $e^{i\beta} = \cos \beta + i \sin \beta$ の積を求めることにより、余弦関数 $\cos(\alpha+\beta)$ と正弦関数 $\sin(\alpha+\beta)$ の加法定理を導きなさい。 II. 次の微分方程式をテキスト「微分積分+微分方程式」P.174定理9.1を用いて与えられた初期条件のもと解を求めてください。 (1) $y'' - y = 0$、$y(0) = 1$、$y'(0) = 0$ (2) $y'' + 2y' + y = 0$、$y(0) = 1$、$y'(0) = 0$ (3) $y'' + y = 0$、$y(0) = 1$、$y'(0) = 1$

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

I. $e^{i\alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha$、 $e^{i\beta} = \cos \beta + i \sin \beta$ の積を求めることにより、余弦関数 $\cos(\alpha+\beta)$ と正弦関数 $\sin(\alpha+\beta)$ の加法定理を導きなさい。

II. 次の微分方程式をテキスト「微分積分+微分方程式」P.174定理9.1を用いて与えられた初期条件のもと解を求めてください。

(1) $y'' - y = 0$、$y(0) = 1$、$y'(0) = 0$

(2) $y'' + 2y' + y = 0$、$y(0) = 1$、$y'(0) = 0$

(3) $y'' + y = 0$、$y(0) = 1$、$y'(0) = 1$

2. 解き方の手順

まず、Iの問題から解きます。

$e^{i\alpha} e^{i\beta} = (\cos \alpha + i \sin \alpha)(\cos \beta + i \sin \beta)$

$= \cos \alpha \cos \beta + i \cos \alpha \sin \beta + i \sin \alpha \cos \beta + i^2 \sin \alpha \sin \beta$

$= (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) + i(\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta)$

一方、$e^{i(\alpha + \beta)} = \cos (\alpha + \beta) + i \sin (\alpha + \beta)$

したがって、

$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

次に、IIの微分方程式を解きます。

(1) $y'' - y = 0$

特性方程式は $r^2 - 1 = 0$。したがって、$r = \pm 1$。

一般解は $y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{-x}$。

$y'(x) = c_1 e^x - c_2 e^{-x}$。

$y(0) = c_1 + c_2 = 1$

$y'(0) = c_1 - c_2 = 0$

これを解くと、$c_1 = c_2 = \frac{1}{2}$。

したがって、$y(x) = \frac{1}{2} e^x + \frac{1}{2} e^{-x} = \cosh x$。

(2) $y'' + 2y' + y = 0$

特性方程式は $r^2 + 2r + 1 = 0$。したがって、$(r+1)^2 = 0$、$r = -1$ (重根)。

一般解は $y(x) = c_1 e^{-x} + c_2 x e^{-x}$。

$y'(x) = -c_1 e^{-x} + c_2 e^{-x} - c_2 x e^{-x}$。

$y(0) = c_1 = 1$

$y'(0) = -c_1 + c_2 = 0$

したがって、$c_1 = 1$、$c_2 = 1$。

よって、$y(x) = e^{-x} + x e^{-x} = (1+x)e^{-x}$。

(3) $y'' + y = 0$

特性方程式は $r^2 + 1 = 0$。したがって、$r = \pm i$。

一般解は $y(x) = c_1 \cos x + c_2 \sin x$。

$y'(x) = -c_1 \sin x + c_2 \cos x$。

$y(0) = c_1 = 1$

$y'(0) = c_2 = 1$

したがって、$y(x) = \cos x + \sin x$。

3. 最終的な答え

I.

$\cos (\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

II.

(1) $y(x) = \cosh x$

(2) $y(x) = (1+x)e^{-x}$

(3) $y(x) = \cos x + \sin x$