問題は以下の通りです。 I. $e^{i\alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha$、 $e^{i\beta} = \cos \beta + i \sin \beta$ の積を求めることにより、余弦関数 $\cos(\alpha+\beta)$ と正弦関数 $\sin(\alpha+\beta)$ の加法定理を導きなさい。 II. 次の微分方程式をテキスト「微分積分+微分方程式」P.174定理9.1を用いて与えられた初期条件のもと解を求めてください。 (1) $y'' - y = 0$、$y(0) = 1$、$y'(0) = 0$ (2) $y'' + 2y' + y = 0$、$y(0) = 1$、$y'(0) = 0$ (3) $y'' + y = 0$、$y(0) = 1$、$y'(0) = 1$
2025/7/9
1. 問題の内容
問題は以下の通りです。
I. 、 の積を求めることにより、余弦関数 と正弦関数 の加法定理を導きなさい。
II. 次の微分方程式をテキスト「微分積分+微分方程式」P.174定理9.1を用いて与えられた初期条件のもと解を求めてください。
(1) 、、
(2) 、、
(3) 、、
2. 解き方の手順
まず、Iの問題から解きます。
一方、
したがって、
次に、IIの微分方程式を解きます。
(1)
特性方程式は 。したがって、。
一般解は 。
。
これを解くと、。
したがって、。
(2)
特性方程式は 。したがって、、 (重根)。
一般解は 。
。
したがって、、。
よって、。
(3)
特性方程式は 。したがって、。
一般解は 。
。
したがって、。
3. 最終的な答え
I.
II.
(1)
(2)
(3)