与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = \sin^{-1}(4x)$ (2) $y = \cos^{-1}(\frac{x}{4})$ (3) $y = \tan^{-1}(\frac{3}{4}x)$ (4) $y = \sin^{-1}(\frac{2}{x})$ $(x \ge 2)$ (5) $y = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}$ (6) $y = \sqrt{\tan^{-1}x}$

解析学微分逆三角関数導関数
2025/7/9

1. 問題の内容

与えられた6つの関数をそれぞれ微分する問題です。
(1) y=sin1(4x)y = \sin^{-1}(4x)
(2) y=cos1(x4)y = \cos^{-1}(\frac{x}{4})
(3) y=tan1(34x)y = \tan^{-1}(\frac{3}{4}x)
(4) y=sin1(2x)y = \sin^{-1}(\frac{2}{x}) (x2)(x \ge 2)
(5) y=sin1xcos1xy = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}
(6) y=tan1xy = \sqrt{\tan^{-1}x}

2. 解き方の手順

(1) y=sin1(4x)y = \sin^{-1}(4x)
dydx=11(4x)24=4116x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (4x)^2}} \cdot 4 = \frac{4}{\sqrt{1 - 16x^2}}
(2) y=cos1(x4)y = \cos^{-1}(\frac{x}{4})
dydx=11(x4)214=11x21614=1416x216=1416x24=116x2\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{4})^2}} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{16}}} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{1}{4\sqrt{\frac{16 - x^2}{16}}} = -\frac{1}{4 \cdot \frac{\sqrt{16-x^2}}{4}} = -\frac{1}{\sqrt{16 - x^2}}
(3) y=tan1(34x)y = \tan^{-1}(\frac{3}{4}x)
dydx=11+(34x)234=11+916x234=116+9x21634=1616+9x234=1216+9x2\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + (\frac{3}{4}x)^2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{1 + \frac{9}{16}x^2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{\frac{16 + 9x^2}{16}} \cdot \frac{3}{4} = \frac{16}{16 + 9x^2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{12}{16 + 9x^2}
(4) y=sin1(2x)y = \sin^{-1}(\frac{2}{x})
dydx=11(2x)2(2x2)=114x2(2x2)=1x24x2(2x2)=1x24x(2x2)=xx24(2x2)\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{2}{x})^2}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4}{x^2}}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2 - 4}{x^2}}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2 - 4}}{|x|}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = \frac{|x|}{\sqrt{x^2 - 4}} \cdot (-\frac{2}{x^2})
x2x \ge 2 より x=x|x| = x なので、
dydx=xx24(2x2)=2xx24\frac{dy}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 4}} \cdot (-\frac{2}{x^2}) = -\frac{2}{x\sqrt{x^2 - 4}}
(5) y=sin1xcos1xy = \frac{\sin^{-1}x}{\cos^{-1}x}
dydx=(cos1x)(11x2)(sin1x)(11x2)(cos1x)2=cos1x1x2+sin1x1x2(cos1x)2=cos1x+sin1x1x2(cos1x)2=cos1x+sin1x1x2(cos1x)2\frac{dy}{dx} = \frac{(\cos^{-1}x)(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) - (\sin^{-1}x)(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}})}{(\cos^{-1}x)^2} = \frac{\frac{\cos^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}}{(\cos^{-1}x)^2} = \frac{\frac{\cos^{-1}x + \sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}}}{(\cos^{-1}x)^2} = \frac{\cos^{-1}x + \sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}(\cos^{-1}x)^2}
sin1x+cos1x=π2\sin^{-1}x + \cos^{-1}x = \frac{\pi}{2} なので、
dydx=π21x2(cos1x)2=π21x2(cos1x)2\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-x^2}(\cos^{-1}x)^2} = \frac{\pi}{2\sqrt{1-x^2}(\cos^{-1}x)^2}
(6) y=tan1x=(tan1x)12y = \sqrt{\tan^{-1}x} = (\tan^{-1}x)^{\frac{1}{2}}
dydx=12(tan1x)1211+x2=12tan1x11+x2=12(1+x2)tan1x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}(\tan^{-1}x)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{2\sqrt{\tan^{-1}x}} \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{2(1 + x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}

3. 最終的な答え

(1) dydx=4116x2\frac{dy}{dx} = \frac{4}{\sqrt{1 - 16x^2}}
(2) dydx=116x2\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{16 - x^2}}
(3) dydx=1216+9x2\frac{dy}{dx} = \frac{12}{16 + 9x^2}
(4) dydx=2xx24\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{x\sqrt{x^2 - 4}}
(5) dydx=π21x2(cos1x)2\frac{dy}{dx} = \frac{\pi}{2\sqrt{1-x^2}(\cos^{-1}x)^2}
(6) dydx=12(1+x2)tan1x\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(1 + x^2)\sqrt{\tan^{-1}x}}

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