$I_n = \int (\log x)^n dx$ の不定積分の漸化式を求める問題です。

1. 問題の内容

$I_n = \int (\log x)^n dx$ の不定積分の漸化式を求める問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて漸化式を導出します。

まず、$I_n = \int (\log x)^n dx$ を

$I_n = \int 1 \cdot (\log x)^n dx$ と変形します。

次に、部分積分を行います。

$\int u v' dx = uv - \int u' v dx$ において、

$u = (\log x)^n$, $v' = 1$ とすると、$u' = n (\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x}$, $v = x$ となります。

したがって、

$I_n = \int (\log x)^n dx = x (\log x)^n - \int x \cdot n (\log x)^{n-1} \cdot \frac{1}{x} dx$

$I_n = x (\log x)^n - n \int (\log x)^{n-1} dx$

$I_n = x (\log x)^n - n I_{n-1}$

これが求める漸化式です。

3. 最終的な答え

$I_n = x (\log x)^n - n I_{n-1}$