定積分 $\int_{1}^{3} \frac{x^3 - x + 2}{x^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} \frac{x^3 - x + 2}{x^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の関数を簡略化します。

$\frac{x^3 - x + 2}{x^2} = \frac{x^3}{x^2} - \frac{x}{x^2} + \frac{2}{x^2} = x - \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} = x - \frac{1}{x} + 2x^{-2}$

次に、この関数を積分します。

$\int (x - \frac{1}{x} + 2x^{-2}) dx = \int x dx - \int \frac{1}{x} dx + 2 \int x^{-2} dx = \frac{x^2}{2} - \ln|x| + 2\frac{x^{-1}}{-1} + C = \frac{x^2}{2} - \ln|x| - \frac{2}{x} + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

最後に、積分範囲1から3までの定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} (x - \frac{1}{x} + 2x^{-2}) dx = [\frac{x^2}{2} - \ln|x| - \frac{2}{x}]_{1}^{3} = (\frac{3^2}{2} - \ln|3| - \frac{2}{3}) - (\frac{1^2}{2} - \ln|1| - \frac{2}{1}) = (\frac{9}{2} - \ln 3 - \frac{2}{3}) - (\frac{1}{2} - 0 - 2) = \frac{9}{2} - \frac{1}{2} - \ln 3 - \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{2} - \ln 3 - \frac{2}{3} + 2 = 4 - \ln 3 - \frac{2}{3} + 2 = 6 - \ln 3 - \frac{2}{3} = \frac{18}{3} - \frac{2}{3} - \ln 3 = \frac{16}{3} - \ln 3$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3} - \ln 3$