アステロイド $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$) の長さを求めよ。

1. 問題の内容

アステロイド $x = \cos^3 t$, $y = \sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$) の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

アステロイドの長さ $L$ は、パラメータ表示された曲線の弧長を求める公式を使って計算できます。

まず、$x(t)$ と $y(t)$ の導関数を求めます。

$\frac{dx}{dt} = -3\cos^2 t \sin t$

$\frac{dy}{dt} = 3\sin^2 t \cos t$

次に、弧長を求める公式に代入します。

$L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = (-3\cos^2 t \sin t)^2 + (3\sin^2 t \cos t)^2 = 9\cos^4 t \sin^2 t + 9\sin^4 t \cos^2 t = 9\cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) = 9\cos^2 t \sin^2 t$

したがって、

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{9\cos^2 t \sin^2 t} = 3|\cos t \sin t| = \frac{3}{2}|2\sin t \cos t| = \frac{3}{2}|\sin 2t|$

アステロイドは$t=0$から$t=2\pi$まで一周しますが、対称性を考慮すると、第1象限（$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$）の長さを計算し、それを4倍することで全長の半分を求めることができます。よってアステロイド全体の長さは、第1象限の長さの8倍で求められます。

$L = 8 \int_{0}^{\pi/2} \frac{3}{2}\sin 2t dt = 12 \int_{0}^{\pi/2} \sin 2t dt$

$\int_{0}^{\pi/2} \sin 2t dt = [-\frac{1}{2}\cos 2t]_{0}^{\pi/2} = -\frac{1}{2}(\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{2}(-1 - 1) = 1$

$L = 12 \times 1 = 12$

3. 最終的な答え

12