$\sum_{k=7}^{21} k^2$ を計算します。つまり、7から21までの各整数の二乗の和を求めます。

1. 問題の内容

$\sum_{k=7}^{21} k^2$ を計算します。つまり、7から21までの各整数の二乗の和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ の公式を利用します。

与えられた和は $\sum_{k=7}^{21} k^2$ ですが、これは $\sum_{k=1}^{21} k^2 - \sum_{k=1}^{6} k^2$ と書き換えることができます。

まず、$\sum_{k=1}^{21} k^2$ を計算します。$n=21$ を上記の公式に代入すると、

$$\sum_{k=1}^{21} k^2 = \frac{21(21+1)(2(21)+1)}{6} = \frac{21 \cdot 22 \cdot 43}{6} = \frac{19866}{6} = 3311$$

次に、$\sum_{k=1}^{6} k^2$ を計算します。$n=6$ を上記の公式に代入すると、

$$\sum_{k=1}^{6} k^2 = \frac{6(6+1)(2(6)+1)}{6} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 13}{6} = 7 \cdot 13 = 91$$

したがって、

$$\sum_{k=7}^{21} k^2 = \sum_{k=1}^{21} k^2 - \sum_{k=1}^{6} k^2 = 3311 - 91 = 3220$$

3. 最終的な答え

3220