与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2k+3)k$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (2k-1)(2k+3)k$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(2k-1)(2k+3)k$を展開します。

$(2k-1)(2k+3)k = (4k^2 + 6k - 2k - 3)k = (4k^2 + 4k - 3)k = 4k^3 + 4k^2 - 3k$

したがって、求める和は

$\sum_{k=1}^{n} (4k^3 + 4k^2 - 3k)$

となります。

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$、$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2$ を用います。

$\sum_{k=1}^{n} (4k^3 + 4k^2 - 3k) = 4 \sum_{k=1}^{n} k^3 + 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 3 \sum_{k=1}^{n} k$

$= 4 \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2 + 4 \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right) - 3 \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)$

$= n(n+1) \left[ \frac{4n(n+1)}{4} + \frac{4(2n+1)}{6} - \frac{3}{2} \right]$

$= n(n+1) \left[ n(n+1) + \frac{2(2n+1)}{3} - \frac{3}{2} \right]$

$= n(n+1) \left[ n^2 + n + \frac{4n+2}{3} - \frac{3}{2} \right]$

$= n(n+1) \left[ \frac{6n^2 + 6n + 8n + 4 - 9}{6} \right]$

$= \frac{n(n+1)(6n^2 + 14n - 5)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(6n^2 + 14n - 5)}{6}$