直線 $l: y = 2x$ 上にあり、$x$ 座標が 2 である点 A がある。点 A を通り、傾きが -1 である直線 $m$ があるとき、以下の問いに答える。 (1) 直線 $m$ の式を求めよ。 (2) 2 直線 $l$ と $m$ および $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $l: y = 2x$ 上にあり、$x$ 座標が 2 である点 A がある。点 A を通り、傾きが -1 である直線 $m$ があるとき、以下の問いに答える。

(1) 直線 $m$ の式を求めよ。

(2) 2 直線 $l$ と $m$ および $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、点 A の座標を求める。点 A は直線 $l: y = 2x$ 上にあり、$x$ 座標が 2 なので、$y$ 座標は $y = 2 \times 2 = 4$ となる。したがって、点 A の座標は (2, 4) である。

次に、直線 $m$ の式を求める。直線 $m$ は傾きが -1 であり、点 A (2, 4) を通るので、$y = -x + b$ に (2, 4) を代入すると、$4 = -2 + b$ となり、$b = 6$ となる。したがって、直線 $m$ の式は $y = -x + 6$ である。

(2) 2 直線 $l: y = 2x$ と $m: y = -x + 6$、および $y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求める。

まず、直線 $l$ と $y$ 軸の交点を求める。直線 $l: y = 2x$ は原点を通るので、交点は (0, 0) である。

次に、直線 $m$ と $y$ 軸の交点を求める。直線 $m: y = -x + 6$ に $x = 0$ を代入すると、$y = 6$ となるので、交点は (0, 6) である。

最後に、2 直線 $l$ と $m$ の交点 A は (2, 4) である。

したがって、三角形の頂点は (0, 0), (0, 6), (2, 4) である。

この三角形は $y$ 軸上に底辺を持ち、その長さは $6 - 0 = 6$ である。高さは点 A の $x$ 座標なので 2 である。

したがって、三角形の面積は $\frac{1}{2} \times 6 \times 2 = 6$ である。

3. 最終的な答え

(1) $y = -x + 6$

(2) 6