正十二角形の12個の頂点から3点を選んで三角形を作ります。 (ア)できる三角形の総数 (1)正三角形の数 (2)直角三角形の数 (3)二等辺三角形の数（正三角形を含む） をそれぞれ求めます。

1. 問題の内容

正十二角形の12個の頂点から3点を選んで三角形を作ります。

(ア)できる三角形の総数

(1)正三角形の数

(2)直角三角形の数

(3)二等辺三角形の数（正三角形を含む）

をそれぞれ求めます。

2. 解き方の手順

(ア)できる三角形の総数

12個の頂点から3つを選ぶ組み合わせなので、

$_{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$

したがって、できる三角形の総数は220個です。

(1)正三角形の数

正十二角形の頂点から正三角形を作るには、3頂点がそれぞれ4つずつ頂点を飛ばした位置にある必要があります。

例えば、頂点1, 5, 9を結ぶと正三角形になります。

同様に、頂点2, 6, 10; 3, 7, 11; 4, 8, 12 も正三角形になります。

したがって、正三角形は4個です。

(2)直角三角形の数

正十二角形に内接する直角三角形は、斜辺が正十二角形の直径になる必要があります。

直径となるのは、対角線で結ばれた頂点です。正十二角形なので、対角線は6本あります。

直径を決めたとき、残りの頂点は10個あります。

例えば、頂点1と7を結ぶと直径になります。このとき、残りの頂点2~6, 8~12のどれを選んでも直角三角形になります。

したがって、直角三角形は $6 \times 10 = 60$ 個です。

(3)二等辺三角形の数（正三角形を含む）

正三角形はすでに4個あるので、正三角形でない二等辺三角形の数を考えます。

頂点を一つ固定して考えます。例えば、頂点1を固定します。

頂点1を頂点とする二等辺三角形は、残りの2頂点の距離が等しい必要があります。

頂点1から距離が等しい頂点は、(2, 12), (3, 11), (4, 10), (5, 9), (6, 8) の5組あります。

これが12個の頂点それぞれについて考えられるので、$12 \times 5 = 60$ 個です。

ただし、この中には正三角形が含まれていません。

二等辺三角形の総数は、$60 + 4 = 64$ 個です。

3. 最終的な答え

ア：220

(1)：4

(2)：60

(3)：64