8人の生徒を、与えられた人数構成のグループに分ける方法の数をそれぞれ求める。具体的には、以下の5つの場合について、分け方を計算する。 (1) 4人, 3人, 1人の3組 (2) 4人, 4人の2つの組A, B (区別あり) (3) 4人, 4人の2組 (区別なし) (4) 4人, 2人, 2人の3組 (5) 2人, 2人, 2人, 2人の4組

1. 問題の内容

8人の生徒を、与えられた人数構成のグループに分ける方法の数をそれぞれ求める。具体的には、以下の5つの場合について、分け方を計算する。

(1) 4人, 3人, 1人の3組

(2) 4人, 4人の2つの組A, B (区別あり)

(3) 4人, 4人の2組 (区別なし)

(4) 4人, 2人, 2人の3組

(5) 2人, 2人, 2人, 2人の4組

2. 解き方の手順

(1) 4人, 3人, 1人の3組に分ける場合:

まず、8人から4人を選び、次に残りの4人から3人を選び、最後に残った1人を選ぶ。

計算式は次のようになる。

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\binom{8}{4} \times \binom{4}{3} \times \binom{1}{1} = \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{3!1!} \times \frac{1!}{1!0!} = 70 \times 4 \times 1 = 280

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(2) 4人, 4人の2つの組A, Bに分ける場合:

まず、8人から組Aの4人を選び、残りの4人を組Bに入れる。組Aと組Bは区別されるので、組み合わせをそのまま計算する。

計算式は次のようになる。

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\binom{8}{4} = \frac{8!}{4!4!} = 70

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(3) 4人, 4人の2組に分ける場合:

まず、8人から4人を選び、残りの4人を別の組に入れる。ただし、2つの組に区別がないため、(2)の結果を2で割る必要がある。

計算式は次のようになる。

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\frac{\binom{8}{4}}{2} = \frac{70}{2} = 35

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(4) 4人, 2人, 2人の3組に分ける場合:

まず、8人から4人を選び、次に残りの4人から2人を選び、最後に残りの2人を選ぶ。ただし、2人の組に区別がないため、2!で割る必要がある。

計算式は次のようになる。

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\binom{8}{4} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{2} \div 2! = \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} \div 2 = 70 \times 6 \times 1 \div 2 = 210

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(5) 2人, 2人, 2人, 2人の4組に分ける場合:

8人から2人を選び、次に残りの6人から2人を選び、次に残りの4人から2人を選び、最後に残りの2人を選ぶ。4つの組に区別がないので、4!で割る必要がある。

計算式は次のようになる。

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\binom{8}{2} \times \binom{6}{2} \times \binom{4}{2} \times \binom{2}{2} \div 4! = \frac{8!}{2!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} \div (4 \times 3 \times 2 \times 1) = 28 \times 15 \times 6 \times 1 \div 24 = 2520 \div 24 = 105

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3. 最終的な答え

(1) 280通り

(2) 70通り

(3) 35通り

(4) 210通り

(5) 105通り