3つの集合 $A, B, C$ について、以下の2つの命題を示す問題です。 (1) $A$ と $C$ が対等 ($A \sim C$) かつ $A \subseteq B \subseteq C$ ならば、$B \sim C$ である。 (2) 単射 $f: A \rightarrow B$ と全射 $g: A \rightarrow B$ が存在するならば、$A \sim B$ である。
2025/7/2
1. 問題の内容
3つの集合 について、以下の2つの命題を示す問題です。
(1) と が対等 () かつ ならば、 である。
(2) 単射 と全射 が存在するならば、 である。
2. 解き方の手順
(1) かつ ならば、 であることの証明
であるから、全単射 が存在する。
である。
を包含写像 ( for ) とする。このとき は単射である。
を構成する。
に対して、 ならば、 なる が存在する。このとき、 であるから、 とする。
に対して、 ならば、 とする。 であるから であり、 でもあるので、 である。
この場合、 は単射となる。
ベルンシュタインの定理より、集合 に対して、 から への単射が存在し、 から への単射が存在すれば、 となる。
したがって、 が成り立つ。
(2) 単射 と全射 が存在するならば、 であることの証明
が単射なので、 から への全単射が存在する。したがって である。
が全射なので、 となる。
が単射であるから、 の部分集合 を考えると、 は全単射となる。
である。恒等写像 を考えると、 は単射となる。
を全射とする。このとき、 で、 となる写像 が存在する。
は単射となる。もし とすると、 より、 となるからである。
は単射であるから、 となる。
である。
ベルンシュタインの定理より、 から への単射が存在し、 から への単射が存在すれば、 となる。
が単射であり、 が全射ならば、 であることが示された。
3. 最終的な答え
(1) かつ ならば、 である。
(2) 単射 と全射 が存在するならば、 である。