3つの集合 $A, B, C$ について、以下の2つの命題を示す問題です。 (1) $A$ と $C$ が対等 ($A \sim C$) かつ $A \subseteq B \subseteq C$ ならば、$B \sim C$ である。 (2) 単射 $f: A \rightarrow B$ と全射 $g: A \rightarrow B$ が存在するならば、$A \sim B$ である。

1. 問題の内容

3つの集合 $A, B, C$ について、以下の2つの命題を示す問題です。

(1) $A$ と $C$ が対等 ($A \sim C$) かつ $A \subseteq B \subseteq C$ ならば、$B \sim C$ である。

(2) 単射 $f: A \rightarrow B$ と全射 $g: A \rightarrow B$ が存在するならば、$A \sim B$ である。

2. 解き方の手順

(1) $A \sim C$ かつ $A \subseteq B \subseteq C$ ならば、$B \sim C$ であることの証明

$A \sim C$ であるから、全単射 $h: A \rightarrow C$ が存在する。

$A \subseteq B \subseteq C$ である。

$i: B \rightarrow C$ を包含写像 ($i(x) = x$ for $x \in B$) とする。このとき $i$ は単射である。

$j: C \rightarrow B$ を構成する。

$x \in C$ に対して、$x \in h(A)$ ならば、$x = h(a)$ なる $a \in A$ が存在する。このとき、$a \in A \subseteq B$ であるから、$j(x) = a$ とする。

$x \in C$ に対して、$x \notin h(A)$ ならば、$j(x) = x$ とする。$x \in C \setminus h(A)$ であるから $x \in C$ であり、$A \subseteq B \subseteq C$ でもあるので、$x \in C$ である。

この場合、$j$ は単射となる。

ベルンシュタインの定理より、集合 $X, Y$ に対して、$X$ から $Y$ への単射が存在し、$Y$ から $X$ への単射が存在すれば、$X \sim Y$ となる。

したがって、$B \sim C$ が成り立つ。

(2) 単射 $f: A \rightarrow B$ と全射 $g: A \rightarrow B$ が存在するならば、$A \sim B$ であることの証明

$f: A \rightarrow B$ が単射なので、$A$ から $f(A)$ への全単射が存在する。したがって $A \sim f(A)$ である。

$g: A \rightarrow B$ が全射なので、$B = g(A)$ となる。

$f: A \rightarrow B$ が単射であるから、$B$ の部分集合 $f(A)$ を考えると、$f: A \rightarrow f(A)$ は全単射となる。

$f(A) \subseteq B$ である。恒等写像 $i: f(A) \rightarrow B$ を考えると、$i$ は単射となる。

$g: A \rightarrow B$ を全射とする。このとき、$h: B \rightarrow A$ で、$g(h(b)) = b$ となる写像 $h$ が存在する。

$h$ は単射となる。もし $h(b_1) = h(b_2)$ とすると、$g(h(b_1)) = g(h(b_2))$ より、$b_1 = b_2$ となるからである。

$h: B \rightarrow A$ は単射であるから、$B \sim h(B)$ となる。

$h(B) \subseteq A$ である。

ベルンシュタインの定理より、$A$ から $B$ への単射が存在し、$B$ から $A$ への単射が存在すれば、$A \sim B$ となる。

$f: A \rightarrow B$ が単射であり、$g: A \rightarrow B$ が全射ならば、$A \sim B$ であることが示された。

3. 最終的な答え

(1) $A \sim C$ かつ $A \subseteq B \subseteq C$ ならば、$B \sim C$ である。

(2) 単射 $f: A \rightarrow B$ と全射 $g: A \rightarrow B$ が存在するならば、$A \sim B$ である。