6つの座席(1から6の番号が振られている)に、3人の大人A,B,Cと3人の子どもd,e,fが1人ずつ座る。 (1) 6人の座り方の場合の総数を求める。 (2) 大人3人が奇数の番号の座席に、子ども3人が偶数の番号の座席に座るような座り方の総数を求める。さらに、Aとd, Bとe, Cとfがそれぞれ同じ列の座席に座るような座り方の総数を求める。 (3) 大人が座る3つの座席に書かれた番号のうち、最も大きい番号が奇数であるような座り方の総数を求める。さらに、どの列にも子どもが1人ずつ座るような座り方の総数を求める。

離散数学順列組み合わせ場合の数条件付き確率
2025/7/2

1. 問題の内容

6つの座席(1から6の番号が振られている)に、3人の大人A,B,Cと3人の子どもd,e,fが1人ずつ座る。
(1) 6人の座り方の場合の総数を求める。
(2) 大人3人が奇数の番号の座席に、子ども3人が偶数の番号の座席に座るような座り方の総数を求める。さらに、Aとd, Bとe, Cとfがそれぞれ同じ列の座席に座るような座り方の総数を求める。
(3) 大人が座る3つの座席に書かれた番号のうち、最も大きい番号が奇数であるような座り方の総数を求める。さらに、どの列にも子どもが1人ずつ座るような座り方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 6人が6つの座席に座る場合の数は、6人の順列なので、6!6! で計算できる。
6!=6×5×4×3×2×1=7206! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720
(2) 奇数の番号の座席は1,3,5の3つ、偶数の番号の座席は2,4,6の3つである。大人3人が奇数の番号の座席に座る座り方は 3!3! 通り、子ども3人が偶数の番号の座席に座る座り方も 3!3! 通りなので、全体の座り方は 3!×3!3! \times 3! で計算できる。
3!×3!=(3×2×1)×(3×2×1)=6×6=363! \times 3! = (3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1) = 6 \times 6 = 36
Aとd, Bとe, Cとfがそれぞれ同じ列の座席に座る場合、各ペアがどの列に座るかによって座り方が異なる。
1列目:(A, d) が (1, 4)
2列目:(B, e) が (2, 5)
3列目:(C, f) が (3, 6)
各列でペアの座り方は2通りずつあるので、全体の座り方は 2×2×22 \times 2 \times 2 で計算できる。
2×2×2=82 \times 2 \times 2 = 8
(3) 大人が座る3つの座席に書かれた番号のうち、最も大きい番号が奇数であるような座り方を考える。大人が座る座席の番号の組み合わせとして考えられるのは、(1,2,3), (1,2,5), (1,2,6), (1,3,4), (1,3,6), (1,4,5), (1,4,6), (1,5,6), (2,3,5), (2,3,6), (2,5,6), (3,4,5), (3,4,6), (3,5,6), (4,5,6).
最も大きい番号が奇数となるのは、(1,2,3), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,6), (1,4,5), (1,5,6), (2,3,5), (3,4,5), (3,5,6), (4,5,6).
組み合わせ数は10通り。大人3人の座り方は 3!3! 通り。残りの3席に子ども3人が座るので、子どもの座り方も 3!3! 通り。よって、10×3!×3!10 \times 3! \times 3! で計算できる。
10×3!×3!=10×6×6=36010 \times 3! \times 3! = 10 \times 6 \times 6 = 360
どの列にも子どもが1人ずつ座る座り方を考える。
各列に大人が座る座席の番号はそれぞれ1つずつなので、1つの列にだけ子どもが2人座ると、その列に大人が座れなくなるので条件を満たせない。
1列目:(1,4)
2列目:(2,5)
3列目:(3,6)
各列に子どもが1人ずつ座る場合を考える。
1列目に子どもが座る座席は(1,4), 2列目に子どもが座る座席は(2,5), 3列目に子どもが座る座席は(3,6)。
1列目に子どもが座る場合 2通り、2列目に子どもが座る場合2通り、2列目に子どもが座る場合 2通り、3列目に子どもが座る場合 2通り。よって各列に子どもが座る座席の選び方は2通り。 よって各列に子どもが座る座席の選び方は2 \times 2 \times 2 = 8$ 通り。
子どもの並び方は 3!3! 通り、大人の並び方も3!3! 通り。全体の座り方は8×3!×3!8 \times 3! \times 3!で計算できる。
8×3!×3!=8×6×6=2888 \times 3! \times 3! = 8 \times 6 \times 6 = 288

3. 最終的な答え

(1) 720通り
(2) 36通り、8通り
(3) 360通り、288通り

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