画像の問題16は、ある街の道路網が与えられ、点Aから点Bへ行く最短経路の数、点Cを通る最短経路の数、そして点Cを通り点Dを通らない最短経路の数を求める問題です。

離散数学組み合わせ最短経路組み合わせ論場合の数
2025/7/2

1. 問題の内容

画像の問題16は、ある街の道路網が与えられ、点Aから点Bへ行く最短経路の数、点Cを通る最短経路の数、そして点Cを通り点Dを通らない最短経路の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、AからBへの最短経路の総数を求めます。AからBへは、右に5回、上に3回移動する必要があります。したがって、8回の移動のうち、右への移動を5回選ぶ組み合わせの数が最短経路の総数となります。これは組み合わせの数 8C5{}_8C_5で計算できます。
次に、AからCを通ってBへ行く最短経路の数を求めます。AからCへは、右に2回、上に1回移動する必要があります。CからBへは、右に3回、上に2回移動する必要があります。AからCへの最短経路の数は3C2=3{}_3C_2 = 3であり、CからBへの最短経路の数は5C3=10{}_5C_3 = 10です。したがって、AからCを通ってBへ行く最短経路の数は3×10=303 \times 10 = 30です。
最後に、AからCを通るがDを通らない最短経路の数を求めます。AからCを通る経路数はすでに求めました。AからCを通ってDを通る経路数を計算し、それを全体の経路数から引けば、AからCを通りDを通らない経路数が求まります。AからCへの経路数は3C2=3{}_3C_2 = 3です。CからDへの経路数は右に1回、上に1回移動するので2C1=2{}_2C_1 = 2です。DからBへの経路数は右に2回、上に1回移動するので3C2=3{}_3C_2 = 3です。したがって、AからCを通ってDを通ってBに行く経路数は3×2×3=183 \times 2 \times 3 = 18です。よって、AからCを通りDを通らない経路数は、3018=1230 - 18 = 12です。

3. 最終的な答え

* AからBへ行く最短経路は 8C5=8!5!3!=8×7×63×2×1=56{}_8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56通り。
* そのうち、Cを通るものは30通り。
* また、AからBへ行く最短経路のうち、Cを通りDを通らないものは12通り。

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